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奧爾-索末菲方程

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奧爾-索末菲方程(英語:Orr–Sommerfeld equation)是流體力學中的一個特徵值方程,用以描述黏性平行流動的二維線性擾動模態。當平行層流滿足特定條件時,相應的納維-斯托克斯方程的解會變得不穩定,此時可使用奧爾-索末菲方程判斷流體動力穩定性的條件。

奧爾-索末菲方程以威廉·邁克法登·奧爾英語William McFadden Orr阿諾德·索末菲命名。

公式

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圖中所示為管道流動中的基流。

假設經擾動後的流速為

,

其中為未經擾動的基流。擾動速度有類波解。使用流函數英語Stream function表示流動,由線性納維-斯托克斯方程可以得到有量綱的奧爾-索末菲方程:

,

其中為流體的動力黏度為流體密度為流函數或速度勢函數。如不考慮黏性影響,該方程可簡化為瑞利方程英語Rayleigh's equation (fluid dynamics)

無量綱形式的奧爾-索末菲方程為:

,

其中為基流的雷諾數為特徵速度,為管道高度)。壁面()的無滑移邊界條件為:

為勢函數)

為流函數)。

方程的特徵值為,對應的特徵向量為。當波速的虛部為正時基流不穩定,微小擾動會以指數形式放大。

參考文獻

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  • Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 9–68. 
  • Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 69–138. 
  • Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen. Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III. Rome. 1908: 116–124.