梅特羅波利斯-黑斯廷斯算法

提議分布Q表示隨機遊走下一狀態的可能位置

梅特羅波利斯－黑斯廷斯算法（英語：Metropolis–Hastings algorithm）是統計學與統計物理中的一種馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，用於在難以直接採樣時從某一概率分布中抽取隨機樣本序列。得到的序列可用於估計該概率分布或計算積分（如期望值）等。梅特羅波利斯－黑斯廷斯或其他MCMC算法一般用於從多變量（尤其是高維）分布中採樣。對於單變量分布而言，常會使用自適應判別採樣（adaptive rejection sampling）等其他能抽取獨立樣本的方法，而不會出現MCMC中樣本自相關的問題。

該算法的名稱源於美國物理學家尼古拉斯·梅特羅波利斯與加拿大統計學家W·K·黑斯廷斯。

算法

假設$P(x)$為目標概率分布。梅特羅波利斯－黑斯廷斯算法的過程為：

1. 初始化
   1. 選定初始狀態$x_{0}$；
   2. 令$t=0$；
2. 迭代過程
   1. 生成： 從某一容易抽樣的分布$Q(x'|x_{t})$中隨機生成候選狀態$x'$；
   2. 計算： 計算是否採納候選狀態的概率${\textstyle A(x'|x)=\min \left(1,{\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}\right)}$；
   3. 接受或拒絕
      1. 從$[0,1]$的均勻分布中生成隨機數$u$；
      2. 如$u\leq A(x'|x)$，則接受該狀態，並令$x_{t+1}=x'$；
      3. 如$u>A(x'|x)$，則拒絕該狀態，並令$x_{t+1}=x_{t}$（複製原狀態）；
   4. 增量：令${\textstyle t=t+1}$；

參考文獻

• Bernd A. Berg. Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis. Singapore, World Scientific, 2004.
• Siddhartha Chib and Edward Greenberg: "Understanding the Metropolis–Hastings Algorithm". American Statistician, 49(4), 327–335, 1995
• David D. L. Minh and Do Le Minh. "Understanding the Hastings Algorithm." Communications in Statistics - Simulation and Computation, 44:2 332-349, 2015
• Bolstad, William M. (2010) Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley & Sons ISBN 0-470-04609-0