真值語義

在邏輯的語義中，真值語義是對 Tarski主義語義的一種替代選擇。它主要由 Ruth Barcan Marcus、H. Leblanc、M. Dunn 和 N. Belnap 所擁戴。它也叫做(量詞的)代換釋義或代換量化。

Beth 的一個定理聲稱，在模型中一個域內所有成員除了那些被指派給常量的都可以被折消，假定了全稱量詞(存在量詞)可以被讀做公式的合取(析取)，其中常量替代在量詞作用域內的變量的想法。比如，∀xPx 可以讀做 (Pa & Pb & Pc &...) 這裡的 a,b,c 是個體常量替代了在 Px 中的所有 x 的出現。

在真值語義和謂詞邏輯的標準語義之間的主要區別是真值語義沒有域。只有原子公式和量化公式的真值子句不同於真值語義。在真值語義中原子公式如 Pb 或 Rca 為真，當且僅當 b (的指稱物)是謂詞 P 的外延的成員，和當且僅當有序對 (c,a) 是 R 的外延的成員；在真值語義中原子公式的真值是基本的。全稱(存在)公式為真，當且僅當它的所有(某些)代換實例為真。比較於標準語義，它聲稱全稱(存在)公式為真，當且僅當對於這個域的所有(某些)成員，這個公式對於其中全部(某些)成立；比如，∀xA 為真(在一個釋義下)，當且僅當對於域 D 的所有的 k，A(k/x) 為真(這裡的 A(k/x) 是用 k 代換 A 中 x 的所有出現的結果)。(這裡我們假定常量是以自身命名的--就是說它們也是這個域的成員)。

真值語義不是沒有問題。首先，強完備性定理和緊緻性定理失效。要看到這些問題請考慮集合 {F(1), F(2),...}。明顯的公式 ∀xF(x) 是這個集合的推論，但它不是其任何有限子集的推論(所以從它是不可演繹的)。立即就可以得出緊緻性定理和強完備性定理二者對於真值語義失效。這由 Dunn 和 Belnap 在 1968 年給出的邏輯推論的修改定義所矯正。

另一個問題出現在自由邏輯中。考慮帶有無指稱的一個個體常量 c 和表示不存在的一個謂詞 F 的一個語言。那麼 ∃xFx 為假，即使它的一個代換實例(實際上在這個釋義下所有這種實例)為真。要解決這個問題我們簡單的增加一個限制條款，存在量化陳述在一個釋義下為真，至少一個代換實例在其中這個常量指稱存在的某個東西。

參見

• 邏輯的語義
• 真理的語義理論