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零階邏輯

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零階邏輯是在與布爾函數一元謂詞演算命題邏輯句子邏輯有關主題的從業人員中流行的術語。使用這個術語的好處是它確立了更高的抽象層次,在其中上述這些主題之間的很無關緊要的區別可以在這個中肯的同構下被包容。

向着最初的方向,表1列出了具體類型X × Y → B和抽象類型 B × B → B的十六個函數在零階邏輯的不同語言中的等價表達。

表1. 在兩個變量上的命題形式
L1 L2 L3 L4 L5 L6
  x : 1 1 0 0      
  y : 1 0 1 0      
f0 f0000 0 0 0 0 ( ) 0
f1 f0001 0 0 0 1 (x)(y) 非x且非y ¬x ∧ ¬y
f2 f0010 0 0 1 0 (x) y y且非x ¬x ∧ y
f3 f0011 0 0 1 1 (x) 非x ¬x
f4 f0100 0 1 0 0 x (y) x且非y x ∧ ¬y
f5 f0101 0 1 0 1 (y) 非y ¬y
f6 f0110 0 1 1 0 (x, y) x不等於y x ≠ y
f7 f0111 0 1 1 1 (x y) 不x且y ¬x ∨ ¬y
f8 f1000 1 0 0 0 x y x且y x ∧ y
f9 f1001 1 0 0 1 ((x, y)) x等於y x = y
f10 f1010 1 0 1 0 y y y
f11 f1011 1 0 1 1 (x (y)) 非x若非y x → y
f12 f1100 1 1 0 0 x x x
f13 f1101 1 1 0 1 ((x) y) 非y若非x x ← y
f14 f1110 1 1 1 0 ((x)(y)) x或y x ∨ y
f15 f1111 1 1 1 1 (( )) 1


六種語言

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對十六個布爾函數的六種語言按如下次序方便的描述:

  • 語言L3描述每個布爾函數f : B2B,通過四個布爾值的序列 (f(1,1), f(1,0), f(0,1), f(0,0))的方式。這樣的一個序列,可能在另一個次序下,並可能帶有邏輯值FT分別替代布爾值0和1,並通常顯示為真值表中的一列。
  • 語言L2fi的形式列出十六個函數,這裡的索引i是從L3中的布爾值序列形成的位串
  • 語言L1符號表示布爾函數fi帶有同L2中的二進制索引等價的十進制索引i
  • 語言L4使用邏輯連結詞表達了十六個函數,通過以乘積的方式連接函數名字或命題表達式的方式,加上極小否定算子家族來表示,用下列各種符號給出幾個極小否定算子:

還要注意是同相同的函數,並且的包含析取表示可以替代為排斥析取而不影響意義,因為參與析取的項已經是分離了的。但是,函數和函數不是相同的東西。

  • 語言L5列出了這十六個函數的日常語言表達,它們是多種同義的表達中最簡單的。
  • 語言L6以在形式邏輯中常用的一些符號表達了十六個函數。

參見

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