對極幾何

對極幾何是立體視覺中的一種幾何關係。當兩個攝像機從兩個不同的位置觀察3D場景時，3D點及其在2D圖像上的投影之間存在許多幾何關係，從而導致圖像點之間的約束。這些關係是基於針孔相機模型的假設推導出來的。

定義[編輯]

圖中描繪了兩個針孔相機觀察興趣點X的場景。O_L和O_R代表兩個相機鏡頭的對稱中心。 X代表兩個相機中的興趣點。點x_L和x_R是點X在圖像平面上的投影。在真實的相機中，圖像平面實際上位於焦點中心的後面，並產生一個關於鏡頭焦點中心對稱的圖像。而在這裏，通過將成像平面放置在焦點中心（或光學中心）的前面來等價地簡化問題（圖像不通過對稱性變換）。

每個攝像頭從3D世界捕捉2D圖像。這種從3D到2D的轉換稱為透視投影，並由針孔相機模型描述。通常通過從相機發出並穿過其焦點中心的光線來模擬這種投影操作。每條光線對應於圖像中的一個點。

對極點[編輯]

由於相機鏡頭的光學中心是不同的，因此每個相機中心都投影到另一個相機圖像平面的不同點上。這兩個圖像點用e_L和e_R表示，稱為對極點。兩個對極點e_L和e_R在兩個相機各自的像平面中，並且落在兩個光學中心O_L和O_R的連線上。

對極線[編輯]

線O_LX_L被因為與左相機中心重合而被左相機視為一個點。但右相機將這條線視為其圖像平面中的一條線。右攝像機中的那條線（e_Rx_R）就稱為對極線。對稱地，右相機視線O_RX為一個點，而被左相機視為對極線（e_Lx_L）。

對極線是3D空間中點X的位置的函數，其隨着X的變化，在兩個圖像中都會生成一組對極線。由於線O_LX通過透鏡O_L的光學中心，因此右圖中相應的對極線必須通過e_R（並且對應於左圖中的極線）。一幅圖像中的所有對極線都包含該圖像的對極點。

對極平面[編輯]

興趣點X與兩相機中心O_L、O_R三點形成的平面稱為對極平面。對極平面與每個相機的圖像平面相交形成線即為對極線。無論X位於何處，所有對極平面和對極線都與對極點相交。

對極線約束和三角測量[編輯]

當兩個相機的相對位置已知，則可以導出兩個重要的觀察推論：

假設投影點x_L已知，並且對極線e_Rx_R已知，並且點X投影到右側圖像上的點x_R上，該點則位於該特定對極線上。因此對於在一個圖像中觀察到的每個點，必須在另一個圖像中的已知對極線上觀察到相同的點。這導出了一個對極線約束：X在右相機平面x_R上的投影必須包含在對極線e_Rx_R中。所有的點X（O_LX_L線上的X₁、X₂、X ₃、... ) 都驗證該約束。這意味着可以測試兩成像平面上的兩個點是否匹配同一個3D點。對極線約束也可以用兩個相機之間的基礎矩陣或本質矩陣（英語：Essential matrix）來描述。
如果點x_L和x_R已知，則它們的投影線也已知。如果兩個圖像點對應於同一個3D點X ，則投影線必須在X處精確相交。這意味着X可以從兩個圖像點的坐標中計算出來，這個過程稱為三角化（英語：Triangulation (computer vision)）。

簡化案例[編輯]

如果兩個相機圖像平面重合，則對極線幾何形狀可以被簡化。在這種情況下，對極線也重合（e_LX_L=e_RX_R）。此外，對極線平行於投影中心之間的O_LO_R線，並且可以與兩個圖像的水平軸對齊。因此對於圖像中的每個點，它在另一個圖像中的對應點可以僅沿着水平線來找到。如果無法以這種方式擺放相機，則可以轉換來自攝像機的圖像坐標來模擬具有公共圖像平面的情況。這個過程稱為圖像校正（英語：Image rectification）。

推掃式傳感器的對極幾何[編輯]

與使用二維傳感器的傳統相機相比，推掃式掃描儀（英語：Push broom scanner）採用一維傳感器陣列來產生長的連續圖像條。該傳感器的對極幾何與針孔投影相機的對極幾何不同。推掃式傳感器的對極線是雙曲線，而非直線。其次，對極線「曲線」對不存在。 ^[1]然而，在某些特殊條件下，衛星圖像的對極幾何可以被認為是一個線性模型。 ^[2]

引用[編輯]

^ Jaehong Oh. "Novel Approach to Epipolar Resampling of HRSI and Satellite Stereo Imagery-based Georeferencing of Aerial Images" 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2012-03-31., 2011, accessed 2011-08-05.
^ Nurollah Tatar and Hossein Arefi. "Stereo rectification of pushbroom satellite images by robustly estimating the fundamental matrix", 2019, pp. 1–19 accessed 2019-06-03.