飲者悖論

飲者悖論（也被稱為飲者定理，飲者原理，或飲酒原理）是經典謂詞邏輯的一個定理。它實際上並不是一個悖論。它的明顯的矛盾的性質來自於它通常的在自然語言中的表述：在酒吧裏會有一個人，對於這個人，如果他在喝酒，那麼所有在酒吧裏的人都在喝酒。 有兩點看起來是反直覺的 1) 這裏面有一個人，他會引起其他人喝酒。2）這裏有一個人，一整夜他都是最後一個喝酒的。第一個反對的理由是由於混淆了形式的 IF...THEN 陳述與因果關係（見相關不蘊涵因果）。定理的形式化陳述是不受時間限制的，我們可以消除第二個反對理由是因為，在一個時刻使得陳述成立的那個特別的人（見證者），並不需要與在任何其它時刻使得陳述成立的那個人是同一個人。實際的定理是

$\exists x\in P.\ [D(x)\rightarrow \forall y\in P.\ D(y)].\,$

其中 D 是一個任意的謂詞，P是一個任意的集合。這個悖論是因數理邏輯學家雷蒙·思木里安而廣為人知的。雷蒙·思木里安在他 1978 年出版的書 What is the Name of this Book? 中稱它為 「飲酒原理」。

證明

以下證明為藉助 Coq 的 proof script.

Lemma drinker (X: Type)(d: X -> Prop):
XM -> (exists x: X, True) -> exists x, d x -> forall x, d x.
Proof.
  intros xm A. assert(s:= xm). specialize (s (exists x, d x -> forall x, d x)). destruct s as [s0 | s1].
  - exact s0.
  - exfalso. apply s1. destruct A as [x _]. exists x. intros B x0. specialize (xm (d x0)). destruct xm as [xm0 | xm1].
    -- exact xm0.
    -- exfalso. apply s1. exists x0. intros C. exfalso. exact(xm1 C).
Qed.