隸屬函數

隸屬函數（membership function）也稱為歸屬函數或模糊元函數，是模糊集合中會用到的函數，是一般集合中指示函數的一般化^[1]。指示函數可以說明一個集合中的元素是否屬於特定子集合。一元素的指示函數的值可能是0或是1，而一元素的隸屬函數會是0到1之間的數值，表示元素屬於某模糊集合的「真實程度」（degree of truth）。

例如質數為一集合，整數3屬於質數，其指示函數為1，整數4不屬於質數，其指示函數為0。但針對模糊集合，可能不會有如此明確的定義，假設胖子是模糊集合，可能體重80公斤的人其隸屬函數為0.9，體重70公斤的人其隸屬函數為0.8。

隸屬函數數值是在0到1之間，看似類似概率，但兩者是不同的概念。

隸屬函數最早是由盧菲特·澤德在1965年第一篇有關模糊集合的論文中提及，他在模糊集合的論文中，提出用值域在0到1之間的隸屬函數，針對定義域中所有的數值定義。

定義

針對集合 $X$ ，集合 $X$ 上的隸屬函數是將集合 $X$ 映射到單位實數區間 $[0,1]$ 的函數。

$X$ 集合上的隸屬函數對應 $X$ 集合中的模糊子集。對應模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的隸屬函數一般會用 $\mu _{A}$ 來表示。針對集合中的元素 $X$ ， $\mu _{A}(x)$ 的數值稱為 $x$ 對應模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的隸屬度，表示符合模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的程度。0表示元素 $x$ 不是模糊集合的元素，1表示元素 $x$ 是模糊集合的元素，0到1之間的值表示此元素部份符合模糊集合。

模糊集合的隸屬函數

有時^[2]會用一個更通用的定義，隸屬函數的值可以是任意的固定代數或是數學結構中取值 $L$ ，一般會要求 $L$ 至少是偏序關係或是格 (數學)。一般值在[0, 1]之間的隸屬函數此時會稱為[0, 1]-值隸屬函數。

容度

隸屬函數的一個應用是在決策理論中的容度（capacity）。

在決策理論中，容度定義為函數 $\nu$ ，其定義域S是某個集合的子集，值域為 $[0,1]$ ，函數 $\nu$ 滿足集合定義上的單調而且正規化（也就是 $\nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1$ ）。這是廣義的概率量測（英語：Probability measure），其中可數可加性的概率公理不一定要成立。容度用來表示某一事件可能性的量測，而特定結果下，其容度的期望值可以對容度作Choquet積分（英語：Choquet integral）求得。

參考資料

^ Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2.
^ 最早是Goguen (1967).

參考書籍

Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174

[Ross2005-1] Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2.

[2] 最早是Goguen (1967).

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定義

容度

相關條目

參考資料

參考書籍