数学结构

在数学中，数学结构（mathematical structure）简称结构（structure），是指在集合之上附加的额外数学对象（如运算、关系、度量等），使得该集合具备了特定的性质和规律。

一个数学结构通常由以下三个部分定义：底层集合（基集或支撑集）、附加对象（运算、关系、子集族）和公理。狭义上，数学结构是在集合上定义的映射、关系或族；广义上，数学结构是指一个多元组，包含了基集和所有规则。

通论

在数学中，一个集合（或若干集合）上的“结构”，或者更一般的称“类型”，是指给予（providing）或赋予（endowing）某一集合（或若干集合）特定的附加特征（数学对象），例如：运算、关系、度量或拓扑。这些附加特征依附（attached）或关联（related）于该集合（或这些集合），从而给予集合额外的数学意义或重要性，也可使得集合更易操作。

以下是可能存在的数学结构的部分列表：测度、代数结构（如群、域等）、拓扑结构、度量结构（几何）、序、图、事件、微分结构、范畴、集合类以及等价关系等等。

有时候，一个集合同时有几种结构；这使得可研究的属性更丰富。例如，序可以导出一种拓扑。又如，如果一个集合有个拓扑并是一个群，而且这两个结构满足一定关系，则该集合成为一个拓扑群。

分类

根据附加规则的不同，通常将数学结构分为以下几大类：

范例

实数集有几个标准结构：

序：任意兩個數都可以比較大小，即全序。
代数结构：乘法和加法使其成为一个域。
测度：实直线上的区间有长度。
几何：它有一个度量，并且是平直的。
拓扑：数和另外一个数有远近关系。

这些关系互相关联：

序和度量分别导出它的拓扑。
序和代数结构使它成为有序域。
代数结构和拓扑使它成为李群（一种拓扑群）。

引用

Structure. PlanetMath. (provides a categorical definition.)