在數學上,一個對偶小波(英語:dual wavelet)為小波的對偶。一般情形下,在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中,由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而,
對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。
給一個平方可積函數
, 定義級數
由
![{\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66be4803b87ea78a1d26e68b89e25aec138e29d7)
給整數
.
這種函數稱為R函數(R-function),假如
的線性展延在
上,且假如存在一個正的常數A, B,其中
如下式
![{\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d11895f9fffb3c9c7b80a44a726ab357cc89b)
對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數
. 在這裏,
代表平方和範數:
![{\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011b1ff2eca93b9197b102c7c963eccdaca45080)
而
代表在
的通常範數(usual norm):
![{\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9387bb8435456fbd8ed95342f155e10e3679ab7)
由里斯表示定理(Riesz representation theorem),存在一個獨特的對偶基底(dual basis)
如下式
![{\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa2b6aa4d8066c2f3c9b477c5f7b598bc226005)
為克羅內克函數(Kronecker delta),而
為在
的內積(inner produce)。確實,這裏存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29cbbcd93673ba9aa7b690abd22dde065bb11b9)
假如這裏存在一個函數
如下式
![{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00eb6a0bd5203e0e64369ec704e307410b5fc4b)
稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說,對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況
中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。
要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓
為一個正交小波。然後定義
,z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。
其他相關[編輯]
- Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8