對偶小波

在數學上，一個對偶小波（英語：dual wavelet）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而，對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

定義

給一個平方可積函數 $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ , 定義級數 $\{\psi _{jk}\}$ 由

\psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)

給整數 $j,k\in \mathbb {Z}$ .

這種函數稱為R函數(R-function)，假如 $\{\psi _{jk}\}$ 的線性展延在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上,且假如存在一個正的常數A, B，其中 $0<A\leq B<\infty$ 如下式

A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 $\{c_{jk}\}$ . 在這裏, $\Vert \cdot \Vert _{l^{2}}$ 代表平方和範數:

\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}

而 $\Vert \cdot \Vert _{L^{2}}$ 代表在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 的通常範數(usual norm):

\Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) $\psi ^{jk}$ 如下式

\langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}

$\delta _{jk}$ 為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 $\langle f\vert g\rangle$ 為在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 的內積(inner produce)。確實，這裏存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)

假如這裏存在一個函數 ${\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ 如下式

{\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}

${\tilde {\psi }}$ 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 $\psi ={\tilde {\psi }}$ 中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。