平面應力

在連續介質力學中，如果一種材料的應力向量在某一特定平面上為零，則這種材料視為處於平面應力（Plane Stress）狀態。當這種情況發生在整個結構上時，例如薄板的情況，因為應力狀態可以用維數為2的張量來表示（可以用2×2矩陣而不是3×3來表示），應力分析因此被簡化。另有與之相關的一個概念：平面應變，通常適用於較厚的結構部件。

平面應力的情況通常發生在薄的平板上，這些平板只受平行於它們的荷載力的作用。在某些情況下，為了應力分析的目的，也可以假定一個彎曲幅度較小的薄板具有平面應力。例如，在受到流體壓力下的的薄壁圓柱體就是這種情況。在這種情況下，垂直於側壁的應力成分與平行於側壁的應力成分相比可以忽略不計。

在其他情況下，薄板的彎曲應力不能被忽略。人們仍然可以通過使用二維平面來簡化分析，但每一點的平面應力的張量必須用彎曲項來補充。

數學定義

在數學上，如果三個主應力 （ 柯西應力張量的特徵張量 ）之一為零，則材料中某個點的應力為平面應力。 也就是說，在笛卡爾坐標系中的應力張量具有以下形式：$\sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

例如，考慮一個長方形的塊狀材料，沿着它的$x$ ， $y$和$z$ 方向上的長度分別為 10、40和5 厘米 ，通過在相應的面上施加均勻分佈的分別具有大小為10 N和20 N的成對的相反力，使其在$x$方向被拉伸在$y$方向上被壓縮。 塊內的應力張量為 ：

$\sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

更一般地，如果任意選擇前兩個坐標軸，但垂直方向的應力為零，則應力張量的形式為：

$\sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

因此可以用2×2矩陣來表示：

$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}$

本構方程

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See Hooke's law#Plane_stress