模糊函數與韋格納分佈的關係

模糊函數(Ambiguity function,AF):
$AF_{s}(\theta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\theta t}\,dt$

韋格納分佈(Wigner distribution,WD):
$WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\omega \tau }\,d\tau$

模糊函數與韋格納分佈關係

一個訊號s(t)，自相關函數為 $R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )\,dt$ 如果$R(\tau )$為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為$R(t,\tau )$， 時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
$P(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,\tau )e^{-j\omega \tau }\,d\tau$
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果 $R(t,\tau )=s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ ，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對$R(t,\tau )$中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)
$SAF_{s}(\theta ,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta t}\,dt$ 模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。 給一個對稱模糊函數$SAF_{s}(\theta ,\tau )$，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:
$\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t}\,d\theta =s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ 由上式可以推得
$WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}\,d\theta \,d\tau$
也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution

範例

一個訊號為兩個Gaussian函數的和:
$s(t)=\sum _{i=1}^{2}s_{i}(t)=\sum _{i=1}^{2}{\sqrt[{4}]{\frac {\alpha }{\pi }}}e^{-{\tfrac {\alpha }{2}}(t-t_{i})^{2}+j\omega _{i}t}$
$\Rightarrow SAF_{s}(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SAF_{si}(\theta ,\tau )+SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$

• 其中$SAF_{s1}(\theta ,\tau ),SAF_{s2}(\theta ,\tau )$集中在原點(0,0)，而$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$集中在$(t_{1}-t_{2},\omega _{1}-\omega _{2})$，而$SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$相似於$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$，除了中心點在$(t_{2}-t_{1},\omega _{2}-\omega _{1})$
  • $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}}e^{j(\omega _{u}\tau -\theta t_{u}+\omega _{d}t_{u})}$ , $t_{u}={\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}}$ , $\omega _{u}={\tfrac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}$ , $t_{d}=t_{1}-t_{2}$ , $\omega _{d}=\omega _{1}-\omega _{2}$

模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term

從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:
$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau$ ,其中$\Phi (\theta ,\tau )$為2D lowpass filter

兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係

如果$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\theta ,\tau )\,d\theta \,d\tau =\phi (t,\omega )$，則
$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau$
$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,y)WD_{s}(t-x,\omega -y)\,dx\,dy=SWD(t,\omega )$

• 其中SWD為smoothed Wigner distribution

通常$\Phi (\theta ,\tau )$( 和$\phi (t,\omega )$ )當作kernal function，用來控制SWD的特性。

若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
$WD_{s1,s2}(t,\omega )=A_{WD}(t,\omega )e^{j\varphi _{WD}(t,\omega )}$
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=A_{SAF}(\theta ,\tau )e^{j\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )}$
而${\frac {\partial }{\partial \theta }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=-t_{u}$ , ${\frac {\partial }{\partial \tau }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=\omega _{u}$
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地，${\frac {\partial }{\partial \omega }}\varphi _{WD}(t,\omega )=t_{d}$ , ${\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{WD}(t,\omega )=\omega _{d}$
則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。

如果$\omega _{1}=\omega _{2}=\omega _{0}$，則
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}\theta ^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}]}e^{j(\omega _{0}\tau -\theta t_{u})}$
會集中在$\tau$軸上。

如果$t_{1}=t_{2}=t_{0}$，則
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}\tau ^{2}]}e^{j[\omega _{u}\tau -(\theta -\omega _{d})t_{0}]}$
會集中在$\theta$軸上。

參考

• Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
• Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
• L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.