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笛卡兒符號法則

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笛卡兒符號法則,首先由笛卡兒在他的作品La Géométrie中描述,是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。

如果把一元實係數多項式按降冪方式排列,則多項式的正根的個數等於相鄰的非零係數的符號的變化次數,或者比它依次小2的整倍數;而負根的個數則是把所有奇數次項的係數變號以後,所得到的多項式的符號的變化次數,或者比它小2的整倍數。

例如,以下的多項式

在第二項和第三項有一個符號變化。因此它正好有一個正根。實際上,我們可以看到,這個多項式可以分解為:

因此它的根為−1(二重根)和1。

把奇數次項變號,可得:

這個多項式有兩個符號變化,因此這個多項式有2個或0個正根,原來的多項式有2個或0個負根。這個多項式可以分解為:

因此根為1(二重根)和−1。

特殊情況

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注意如果知道了多項式只有實數根,則利用這個方法可以完全確定正根的個數。由於零根的重複度很容易計算,因此也可以求出負根的個數。於是所有根的符號都可以確定。

參見

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外部連結

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