規範形式 (布林代數)

布林代數中，所有由標準邏輯運算子組成的布林函數，都可以表示為布林規範形式。規範形式分為「極小項」形式，及其對偶，「極大項」形式。

極小項

我們首先定義極小項(minterm)。對於一個有 n 個變數的布林函數，極小項是由邏輯與運算子將這 n 個變數（或其邏輯否定）不重複地組合而成的邏輯表達式。

例如：

$ab'c$

$a'bc$

這兩項中每個變數都出現，且僅只出現一次。三個變數間都僅使用邏輯與相連，因此這兩項都符合極小項的定義。

$n$個變數有$2^{n}$個可能的極小項—這是因為在極小項表達式中，一個變數要麼是其自身，要麼是其邏輯否定形式—$n$個變數中的每個都有兩種選擇。

索引極小項

為了方便書寫極小項，我們按照其中的每個變數是否含有邏輯非，為每一個可能的極小項指派一個索引值。

首先確保每個極小項中的變數都按照同樣的次序排列（通常按拉丁字母序），從左到右，每個變數對應一個位元。一個帶邏輯非的項，如$a'$，對應的位元為 0，而一個不帶邏輯非的項，如$a$，對應的位元為 1。例如，$abc'$ 對應的二進制序列是（$110_{2}$），因此，其索引是數字 6，這個極小項表達式寫作 $m_{6}$。與之相似，三個變數的$m_{0}$是$a'b'c'$（$000_{2}$），而$m_{7}$則是$abc$（$111_{2}$）。

函數等價

因為極小項由各變數的邏輯與組合而成，所以只有當所有含有邏輯非的變數取值都為0，且所有不含邏輯非的變數取值都為 1，該極小項才會輸出 1。例如，極小項$m_{5}=ab'c$，只在 a 和 c 都為 1 而 b 為 0 時輸出 1。

如果你給出一個邏輯函數的真值表，就可以把這個函數寫為"積之和"(由極小項OR起來的序列)。像這樣組合出來的布林表達式，其中任何一個極小項輸出 1 時也輸出 1，對其餘輸入其輸出都是 0。由於每個極小項都只對一個輸入輸出 1，所以這個組合可以唯一地表示任何布林函數。這是析取範式的特殊形式。例如，如果給出真值表

例：布林函數$f$的真值表

$a$	$b$	$f(a,b)$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

觀察到$f$的輸出僅在第一行和第三行為 1，所以我們可以把$f$寫為極小項$m_{0}$和$m_{2}$之和。

驗證：

$f(a,b)=m_{0}+m_{2}=(a'b')+(ab')$

通過直接計算，結果和這個函數的真值表是一樣的。

布林函數表示為極小項之和的形式，叫做其主析取範式或極小項規範形式。

極大項

極大項是極小項的對偶。其中各變數（或其邏輯否定）由邏輯或運算子不重複地組合而成。 例如：

$a+b'+c$

$a'+b+c$

$n$個變數同樣也有$2^{n}$個可能的極大項。

索引極大項

極大項的索引與極小項的相反：含邏輯非的變數對應的位元為 1，不含的對應位元為 0。例如，極大項$a'+b'+c$的索引為 6（$110_{2}$），記作$M_{6}$。同樣，三個變數的$M_{0}$為$a+b+c$，$M_{0}$為$a'+b'+c'$。

對偶化

可以輕易的使用德·摩根定律驗證，極小項的補是同索引的極大項。例如

$m_{2}'=M_{2}$

$(a+b')'=a'b$

函數等價

明顯的，極大項 n 現在對這個邏輯函數的第 n+1 個唯一的函數輸入給出假值。例如，極大項 5，a'+b+c'，只在 a 和 c 都為真而 b 為假的時候是假的 - 輸入為 a = 1, b = 0, c = 1 得到 0。

如果你給出一個邏輯函數的真值表，就可以把這個函數寫為「和之積」（由極大項AND起來的序列）。它是合取範式的特殊形式。例如，如果給出真值表

例：布林函數$f$的真值表

$a$	$b$	$f(a,b)$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

觀察到$f$的輸出僅在第二行和第四行為 0，所以我們可以把$f$寫為極大項$m_{1}$和$m_{3}$之積。

驗證：

$f(a,b)=M_{1}M_{3}=(a+b')(a'+b')$

通過直接計算，結果和這個函數的真值表是一樣的。

布林函數表示為極大項之積的形式，叫做其主合取範式或極大項規範形式。

結果總結

所有邏輯函數都可以用「極小項之和」或「極大項之積」的規範形式表達。除了可以用直接和簡單的代數形式表達複雜的邏輯函數之外，規範形式還允許把這些函數強力分析成最簡化的形式，這對於數字電路的最小化是非常重要的。

參見

• 布林代數主題列表
• Quine-McCluskey演算法
• 合取範式
• 析取範式