開爾文函數有兩類[1],得名自開爾文勳爵。
第一類
,
第二類
,
Kelvin Ber(v,z) function
Kelvin Bei(v,z) function
其中
代表
的實數部分,
是第一類貝索函數。
其中
代表
的虛數部分。
![{\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3b5d0a3ea65190b00e85e79f254bff6bc1acd8)
![{\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2da961ae958ccb03f6a11e66ac59d36ff43314d)
其中n為整數,上式分母的
是Γ函數。
Kelvin Ker(v,z) function
Kelvin Kei(v,z) function
其中
是第二類修正貝索函數。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&\qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3e6a4c61732b2d0f17d32b4130c7df4b9c3926)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {kei} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&\qquad -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90192ba94c04ca686485eebe22cee2ef28966b36)
上式的
是雙伽瑪函數。
- ^ NIST HANDBOOK p261-268
- Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 [2015-01-24], ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248, (原始內容存檔於2013-07-03)