瑞利问题

在流体力学中，瑞利问题（Rayleigh problem）或斯托克斯第一问题（Stokes first problem），得名于瑞利男爵与乔治·斯托克斯，是一个由无限长平板从静止开始运动所产生的流体流动问题。这被认为是具有纳维-斯托克斯方程式精确解的最简单的非稳定问题之一。基思·斯图尔特森研究了由半无限平板运动所产生的现象 。

流体描述

考虑一个对初始静止的无限大流域来说位于$y=0$的无限长平板突然以定速度$U$往$x$方向移动，不可压缩纳维-斯托克斯方程式可简化为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

其中$\nu$是黏度。板与流体接触面的初始条件与不滑移条件为

$u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,$

最后一个条件是由于无限远处的流体无法被$y=0$的运动所影响。流体的流动只由平板移动所导致，此处并没有外加的压力梯度。

自相似解

该问题类似于一维的热传导问题，因此这里可以引入相似的变量

$\eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}$

将它们代入上述的偏微分方程，可以简化为常微分方程

$f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0$

并具有边界条件

$f(0)=1,\quad f(\infty )=0$

上述问题的解可被写成含互补误差函数的形式

$u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)$

单位面积施加在平板上的力为

$F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}$

任意平板运动

除了用上述的阶跃边界条件，平板的速度也可以是时间的任意函数$U=f(t)$。方程式的解可以写为

$u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .$

圆柱体的瑞利问题

旋转的圆柱

考虑一个半径为$a$的无限长圆柱体于时间$t=0$时开始以角速度$\Omega$旋转，则$\theta$方向的速度由下式给出

$v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}$

其中$K_{1}$是第二类修正贝索函数。当$t\rightarrow \infty$，方程式的解趋近于刚体涡旋。单位面积施加于圆柱体的力为

$F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega$

其中$I_{0}$第一类修正贝索函数。

滑动的圆柱

精确解在圆柱体沿轴向以等速度$U$运动也存在。设圆柱体的轴向指向 $x$ 方向，则方程式的解为

$u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.$

参看

• 斯托克斯问题