矢 (几何)
外观
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Sagitta_zh-hans.svg/300px-Sagitta_zh-hans.svg.png)
圆弧的矢(sagitta,有时缩写成sag[1])或弓形高[2]是指该圆弧对应的弦之中点到弧之中点的距离[3]。 在建筑学中,矢广泛用于计算跨越一定高度和距离所需的弧度,并且在光学中用于评估球面镜或透镜的厚度。矢的英文sagitta来自拉丁文sagitta意思是“箭”。
三角函数的正矢函数正是得名于矢[4][5],在割圆八线中,矢对应到正矢。
矢与弓形高是相似的概念,差别仅在矢专指一个弧中点到弧两端连线之中点的那条线,而弓形高是弓形的高。矢与弧相关,而弓形高与弓形相关。
公式
[编辑]在下列等式中,代表矢(弓形高),为圆的半径,为圆弧两端点的距离,也就是弦长。其中半弦和弓心距正好是直角三角形的两条边,半径刚好是其斜边,根据勾股定理则有:
由此可以推导出矢、弦和半径的关系式:
矢也可以透过正矢函数来计算出来。若圆弧对应的圆心角为Δ,令Δ = 2θ,则矢为:
近似值
[编辑]当矢相对于半径很小时,可以使用以下公式来近似计算[3]:
或者,如果矢长(弓形高)很小,且已知矢长、半径和弦长,则可以透过以下公式来估计计弧长:
其中,a是弧长。这个公式为中国数学家沈括所知,两个世纪后,郭守敬提出了一个更准确的公式。[6]
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Shaneyfelt, Ted V. 德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine?. Hilo, Hawaii: University of Hawaii. [2015-11-08]. (原始内容存档于2015-09-19).
- ^ 弓形高. Yahoo奇摩字典. [2023-12-28]. (原始内容存档于2023-12-28).
- ^ 3.0 3.1 Woodward, Ernest. Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver. Problem Solvers Solution Guides. Research & Education Association (REA). December 1978: 359. ISBN 978-0-87891-510-1.
- ^ van Brummelen, Glen Robert. Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. 2013 [2015-11-10]. ISBN 9780691148922. 0691148929.
- ^ sagitta. 牛津英语词典 (第三版). 牛津大学出版社. 2005-09 (英语).
- ^ Needham, Noel Joseph Terence Montgomery. Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth 3. Cambridge University Press. 1959: 39. ISBN 9780521058018.