大数假说

保罗·狄拉克

狄拉克大数假说（英语：Dirac large numbers hypothesis，缩写：LNH）是由英国物理学家保罗·狄拉克在1937年提出的一个假设。他比较了两个不带量纲的量值：基本作用力（在此为重力与电磁力）的比例与宇宙年龄的尺度，发现两者皆落在约40个数量级。狄拉克猜测这可能并非巧合，两者或许存在某种关联性。基于这个假设，他设计了一个宇宙学的模型。

这个模型具有以下的特质：

• 重力常数反比于宇宙的年龄：$G\propto 1/t\,$
• 宇宙带有的质量正比于宇宙年龄的平方：$M\propto t^{2}$

然而这两个性质并不为目前主流的宇宙学理论所接受。

发展背景

狄拉克并非唯一一位注意到这种量值巧合的人。 对这类巧合的关注始于1919年，赫尔曼·外尔推测宇宙的半径会等同于一个带有电子引力自能量（self-energy）的粒子半径：

${\frac {r_{H}}{r_{e}}}\approx 10^{42}\approx {\frac {R_{U}}{r_{e}}}$，

$r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{e}c^{2}}}$，

$r_{H}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{H}c^{2}}}$，

$m_{H}c^{2}={\frac {Gm_{e}^{2}}{r_{e}}}$

其中 $r_{e}$ 代表经典电子半径，$m_{e}$ 为电子质量，$m_{H}$ 为假想粒子的质量，$r_{H}$ 则为其半径， $R_{U}$ 是可观测宇宙的半径。

这个理论被亚瑟·爱丁顿（1931年）继续推广，连结了宇宙中估计带电粒子的数量 $N$ ：

${\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}Gm_{e}^{2}}}\approx {\sqrt {N}}\approx 10^{42}$.

除了外尔和爱丁顿之外，乔治·勒梅特1933年在剑桥提出的观点也影响了狄拉克。而随时间改变的重力常数 $G$ 这个概念最早来自于爱德华·亚瑟·米尔恩的构想，比狄拉克的大数假说还要早上几年。这个构想并非起于这类的大数巧合，而是源自于要打造一个不同于爱因斯坦的广义相对论。对米尔恩而言，空间单纯只是参考系统而并非一个结构。依照他的观点，爱因斯坦的结论可以改写为以下的式子：

$G=\left({\frac {c^{3}}{M_{U}}}\right)t$

当中 $M_{U}$ 是整个宇宙的质量，$t$ 是以秒计算的宇宙年龄。根据这个关系，$G$ 会随时间增大。

狄拉克对大数巧合的诠释

外尔与爱丁顿的比值可以用不同的方式作表示，例如：

${\frac {ct}{r_{e}}}\approx 10^{40}$，

当中 t 为宇宙年龄，$c$ 为光速，r_e 为经典电子半径。如果用原子单位把 $c$ 和 r_e 定为1，则宇宙的年龄约为10⁴⁰ 个原子时间单位。这跟一个电子与质子间电磁力和重力的比值落在相同的数量级：

${\frac {4\pi \epsilon _{0}Gm_{p}m_{e}}{e^{2}}}\approx 10^{-40}$

将电子电荷 $e$、电子质量、电子/质子质量 $m_{p}$/$m_{e}$、介电常数因子 $4\pi \epsilon _{0}$ 以原子单位（等于1）表示，则重力常数约为10⁻⁴⁰。狄拉克解释说这代表重力常数 $G$ 和时间成反比：$G\approx 1/t\,$。根据广义相对论， $G$ 必须为定值，否则能量不守恒。为解决这个问题，狄拉克将爱因斯坦方程引入了一个规范方程 β ，用来在原子单位下描述时空结构。另外，狄拉克作了大数假说中另外一个重要的假设：宇宙中不断地产生新的物质。

新的物质由以下其中一种方法产生：

• 附加生成：新的物质从空间中均匀产生。
• 倍数生成：新的物质伴随原有的物质产生。

参考资料

• P.A.M. Dirac. A New Basis for Cosmology. Proceedings of the Royal Society of London A. 1938, 165 (921): 199–208. Bibcode:1938RSPSA.165..199D. doi:10.1098/rspa.1938.0053. 
• P.A.M. Dirac. The Cosmological Constants. Nature. 1937, 139 (3512): 323. Bibcode:1937Natur.139..323D. doi:10.1038/139323a0. 
• P.A.M. Dirac. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis. Proceedings of the Royal Society of London A. 1974, 338 (1615): 439–446. Bibcode:1974RSPSA.338..439D. doi:10.1098/rspa.1974.0095. 

外部链接

• 纪录影片：狄拉克谈论大数假说
• 狄拉克演讲完整讲稿
• Cheng-Gang Shao, Jianyong Shen, Bin Wang: Dirac Cosmology and the Acceleration of the Contemporary Universe（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Saibal Ray, Utpal Mukhopadhyay, Partha Pratim Ghosh: Large Number Hypothesis: A Review（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• gr-qc/0111034 Guillermo A. Mena Marugan, Saulo Carneiro: Holography and the large number hypothesis（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Robert Matthews: Dirac's coincidences sixty years on
• The Mysterious Eddington-Dirac Number（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• A. Unzicker: A Look at the Abandoned Contributions to Cosmology of Dirac, Sciama and Dicke (arxiv:0708.3518)（页面存档备份，存于互联网档案馆）