平滑滤波器

平滑滤波器（英语：Smoother）是增加低频的空间域滤波技术。空间域滤波技术即不经由傅立叶转换，直接处理影像中的像素，主要用于模糊化和去除噪声。平滑滤波器的输出是滤波器遮罩的邻域所含像素的平均，遮罩越大平滑的效果越好，然而若遮罩过大平滑效果会使边缘的信息失真越严重，使输出的图像过度模糊，因此需合理选择遮罩的大小。

实现

简易型平滑滤波器

最简易型的平滑滤波器可表示为下式

$y[n]={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =n-L}^{n+L}x[\tau ]$

可改写为

$y[n]=x[n]*h[n]$

h[n]如下图所示

简易型平滑滤波器的脉冲响应h[n]

$y[n]=\sum _{\tau }x[n-\tau ]h[\tau ]=\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]{1 \over 2L+1}={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]$

$y[n]={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =n-L}^{n+L}x[\tau ]$

$y[n-1]={1 \over 2L+1}\sum _{\tau =n-1-L}^{n-1+L}x[\tau ]$

则可以把y[n]改写为递回形式

$y[n]=y[n-1]+{1 \over 2L+1}(x[n+L]-x[n-1-L])$

一般型态平滑滤波器

一般型态平滑滤波器可表示成下列式子

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{\tau =n-L}x[n-\tau ]h[\tau ]$

而h[n]需符合下列条件

${\begin{cases}\ 1.h[n]=h[-n]\\\ 2.|h[n_{1}]|\leq |h[n_{2}]|&|n_{1}|>|n_{2}|\end{cases}}$

任何随着｜n｜递减的偶函数都可以当成平滑滤波器

一般型平滑滤波器的脉冲响应范例h[n]

应用

平滑滤波器多用来模糊化、去除噪声，找出信号长期趋势。

下列为平滑滤波器简单的范例

% matlab code %

 y =[0:0.1:5]';                       %產生信號
 y = y+ 0.15.*randn(length(y), 1);    %信號加上雜訊
 y2 = smooth(y');                     %使用平滑濾波器去信號雜訊

 subplot(2,1,1),plot(b,y);
 title('x[n]');
 subplot(2,1,2),plot(b,y2); 
 title('x[n] after smoother');

模拟结果

一般型平滑滤波器的脉冲响应范例h[n]

参考书目、资料来源

1. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.