欧拉定理 (几何)

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$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离$d$ 可表示为

$d^{2}=R(R-2r)\,$

其中$R$为外接圆半径，$r$为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (当三角形等边时，等号成立)：

$R$ ≥ $2r.$

证明

(1)当$d=0$时，表示外心$O$与内心$I$重合，此时易证三角形$\displaystyle ABC$为正三角形，且$R=2r$，因此$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$。

(2)当$d$大于$0$时，请参考右下图：

(a)设三角形$ABC$的外心为$O$，内心为$I$，延长$AI$交外接圆于$L$，则$L$为弧$BC$的中点。连$LO$延长交外接圆于$M$，过$I$作$ID$垂直于$AB$，$D$为垂足，则$ID=r$。易证三角形$\displaystyle ADI$与三角形$\displaystyle MBL$相似，故${\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}$，即$ID\times ML=AI\times BL$。所以$2Rr=AI\times BL$。

(b)连接$\displaystyle BI$，因

$\angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}$，

$\angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}$，

所以$\angle BIL=\angle IBL$，有$\displaystyle BL=IL$，由(a)的结论知$AI\cdot IL=2Rr$。

(c)设$\displaystyle OI$延长线交外接圆于$\displaystyle P,\;\displaystyle Q$ 两点，则$PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr$，所以$\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr$，即$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$。