三角形

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三角形
Triangle illustration.svg
三角形
3
頂點 3
施萊夫利符號 {3}(正三角形時)
面積 有各種求面積的公式;
見下文
內角 60°(正三角形時)

三角形是由三条线段顺次首尾相连,组成的一个闭合的平面图形,是最基本的多邊形

Trikotnik.png

一般用大写英语字母ABC为三角形的顶点标号;用小写英语字母abc表示;用\alpha\beta\gamma標號,又或者以\angle ABC這樣的顶点标号表示。

分类[编辑]

以角度分類[编辑]

锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
锐角三角形 钝角三角形 直角三角形

锐角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角(即小於90°)。

钝角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角(大於90°)的三角形,其余兩角均小於90°。


Right triangle.png

直角三角形

有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」(cathetus),直角所对的边是「斜边」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。

直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。詳見三角函數


以邊長分類[编辑]

不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形
不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形

不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形


等邊三角形

等邊三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a ,则其面積公式為 \frac{a^2\sqrt3}{4}

等邊三角形是正四面體正八面體正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形


等腰三角形

等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩个角為45度。

等腰三角形是三条中有两条边相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」,而另一条边被称为「底边」,两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」,它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。


退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

一般性质[编辑]

三角不等式[编辑]

  • 三角边長不等式
三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等,则是退化三角形。
  • 三角內外角不等式
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度[编辑]

三角形の内角と外角.png
  • 三角形外角
三角形兩內角之和,等於第三角的外角。
  • 三角形內角和
在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。

勾股定理[编辑]

勾股定理,又稱畢氏定理毕达哥拉斯定理。设直角三角形的其中一邊c 為斜邊,即 c 的對角 \gamma =90^\circ ,則
a^2+b^2=c^2
  • 勾股定理逆定理
勾定理的逆定理亦成立,即若三角形滿足
a^2+b^2=c^2
\gamma =90^\circ

正弦定理[编辑]

R 为三角形外接圆半径,則
\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R

餘弦定理[编辑]

對於任意三角形:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma
勾股定理是本定理的特殊情况,即当角 \alpha=90^\circ\, 时, \cos\alpha=0 ,于是 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha 化简为 a^2 = b^2 + c^2


全等及相似[编辑]

全等三角形[编辑]

三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。
  • HL(Hypotenuse-Leg,斜邊、直角邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。又名為RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊)[1]
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

注意,SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保证两个三角形全等,除非該角大於90°。

相似三角形[编辑]

  • AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角)。)
  • 三邊成比例:各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
  • 兩邊成比例及夾角相等:各三角形的兩條邊的長度都成同一比例,且兩條邊夾著的角都對應地相等。


特殊線段[编辑]

三角形中有著一些特殊線段,是三角形研究的重要對象。

  • 中线:三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
  • 高线:从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
  • 角平分线:平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
  • 垂直平分線:通過三角形一边中点与該边所垂直的线段,又稱中垂线。

以上特殊線段,每個三角形均有三條,且三線共點。

中线长度[编辑]

设在\Delta ABC\,中,若三边abc \,的中線分别为m_am_bm_c,则:

 m_a = \sqrt{b^2 + c^2 - \frac{1}{2} a^2}
 m_b = \sqrt{a^2 + c^2 - \frac{1}{2} b^2}
 m_c = \sqrt{a^2 + b^2 - \frac{1}{2} c^2}

高线长度[编辑]

设在\Delta ABC\,中,連接三个顶点ABC上的高分別记作h_ah_bh_c,則:

h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}
h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}
h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}

其中 s=\frac{a+b+c}{2}

角平分线长度[编辑]

设在\Delta ABC\,中,若三个角ABC的角平分线分别为t_at_bt_c,则:

t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}
t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}
  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}


| 外心 || 三條邊的垂直平分線的交點 || 三角形の外心.png || 該點為三角形外接圓的圓心。 |- | 垂心 || 三条高线的交點 || 三角形の垂心.png ||   |- | 形心(重心) || 三条中线的交點 || 三角形の重心.png || 被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。 |}

关于三角形的四心,有这样的一首诗:

內心全靠角平分,

外心中點垂線伸,
垂心垂直畫三高,

形心角連線中心。
Triangle.EulerLine.svg

垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線

連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:

名称 定义 图示 备注
旁心 外角的角平分线的交點 [[File:三角形の傍心

外接圆和内切圆半径[编辑]

設外接圆半径為R , 内切圆半径為r ,則:

 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}
 r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

面積[编辑]

基本公式[编辑]

三角形的面積 A 是底邊  b 與高  h 乘積的一半,即:

A=\frac{1}{2}bh

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

已知兩邊及其夾角[编辑]

ab 為已知的兩邊, \gamma 為該兩邊的夾角,則三角形面積是:

A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}

已知兩角及其夾邊[编辑]

\beta\gamma 為已知的兩角, a 為該兩角的夾邊,則三角形面積是:

A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}

已知三邊長[编辑]

希羅公式,又称海伦公式,其表示形式為:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

其中 s 等於三角形的半周長,即:

s=\frac{a+b+c}{2}

秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法

A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}

也有用幂和来表示的公式:

A = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:

16 \cdot A^2 =-
\begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1\\
  a^2 & 0 & c^2 & 1\\
  b^2 & c^2 & 0 & 1\\
  1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}

基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設 a \ge b \ge c ,三角形面積為:

A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}

已知坐标系中三顶点坐标[编辑]

(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x_3,y_3) 三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的絕對值表示:

A =\left|  \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|

若三個頂點設在三維座標系上,即由 (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2)(x_3,y_3,z_3) 三个顶点构成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:

A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 +
\begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }

已知周界及內切圓或外接圓半徑[编辑]

設三角形三邊邊長分別為 abc ,三角形半周長( \frac{a+b+c}{2} )為 s ,內切圓半徑為 r,則:

A = sr

若設外接圓半徑為 R ,則:

A =\frac{abc}{4R}

已知兩邊向量[编辑]

設從一角出發,引出兩邊的向量為 \mathbf{a}\mathbf{b} ,三角形的面積為:

 A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |

半角定理[编辑]

在三角形  ABC\,中,三个角的半角的正切和三边有如下关系:


\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c} \\
\end{align}

其他三角形有关的定理[编辑]

參考來源[编辑]

  1. ^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

參看[编辑]