全等三角形

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全等三角形指兩個全等三角形,它們的三條及三個都應對等。全等三角形幾何全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。

全等的數學符號為:


当使用该符号时,需保证符号两边的角、边一一对应。

定義[编辑]

當兩個三角形的對應,完全相等,便是正三角形。

性質[编辑]

三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質:

  • 它們的對應相等。
  • 它們的對應相等。

三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:

下列三對邊長為「對應邊」:

下列三對角為「對應角」:


同時,所有對應邊長及角度均相等:

用途[编辑]

因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形

判定[编辑]

全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形:

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊;三邊):三邊長度相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊;兩邊一夾角):兩邊,且夾角相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角;兩角一夾邊):兩角,且夾邊相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊;兩角一對邊):兩角,且非夾邊相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊,又称HL(斜边、直角边);斜股性質):在一对直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形:

  • AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。
  • SSA(Side-Side-Angle,邊、邊、角):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。但當該角是直角鈍角時可驗證全等三角形,RHS便是該角是直角時的情形,其實沒有這個

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形,即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

SSS[编辑]

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
邊(二) 已知
邊(三) 已知

此时三边已知,三个角可分别由余弦定理计算,由于 在 0°到 180°之间是单调的所以可保证解出唯一值。

SAS[编辑]

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
已知
邊(二) 已知

此时两边夹一角已知,首先用余弦定理计算第三边,接下来与 SSS 的情况相同。

ASA[编辑]

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 共用角
邊(一) 已知
角(二) 已知

此时两角夹一边已知,通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

AAS[编辑]

這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 對頂角
角(二) 已知
已知

仍然是做减法得出第三角,接下来与 ASA 相同。

RHS[编辑]

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

為直角三角形中專用的三角型全等性質 ,即為直角三角形中的SSA ,也稱為斜股性質 ,如右圖

原因
直角 已知
斜邊 已知
已知

勾股定理或是直接連兩边的頂端解出剩下一边,即变成 SSS或SAS。

不能驗證全等三角形的条件[编辑]

AAA[编辑]

AAA不能驗證三角形全等。

AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條疊在一起時,便會形一個和一個。而且,若該無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。

這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形

从正弦定理的角度看, 这个比例的比值可以任意缩放,因此无法唯一确定三边长度。

SSA[编辑]

SSA不能驗證三角形全等。

SSA(邊、邊、角),也稱為ASS ,指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:

那即是SSA。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為。透過這個圓形便會發現,沒有改變下,會出現另一個與一樣長度的直線(即圖中的)。這樣便能證明SSA並不能驗證全等三角形,(除非已知。當是直角三角形時應稱為RHS)。

雖然如此,當≥ 90°時,。又,故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理, 其中已知 ,可解出 ,但 在 0°到 180°上先升后降导致 有两解,即 可能是钝角或锐角(或退化为只有一解是直角的特殊情况,此处略去),分别对应图中的 。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时,可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 ,此时做减法得出 后即可用余弦定理解得最后一边

參見[编辑]

外部連結[编辑]