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凹凸性 (幾何)

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几何学中,一个幾何圖形可分为的。例如多邊形多面體。其中,凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形非凸多邊形多面體多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中,不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形,亦可能是星形幾何圖形,因此在三維或更高維度的空間中較常分為非凸

凸幾何圖形[编辑]

凸幾何圖形是指内部为凸集幾何圖形[1],二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的内部为凸集,則稱凸多胞形英语Convex polytope

二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形,简单多边形的下列性质与其凸性等价:

凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。

凹幾何圖形[编辑]

凹幾何圖形是指内部不是凸集的幾何圖形,在二維空間中,不是凸集的簡單多邊形,稱為凹多边形(Concave polygon)[2]凹角[3]

凹多邊形至少存在一個內角大於180度。

在三維空間中,不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形,亦可能是星形多面體,因此在三維空間中較常分為凸與非凸。

嚴格凸與非嚴格凸[编辑]

非嚴格凸的正三角錐反角柱,其由一個正三角錐和一個三角反角柱組成,上方的三角錐側面與三角反角柱側面共面,而非严格小于180度。

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度,是严格凸的;如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部,也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形幾何圖形[编辑]

星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例,其並未有一個明確的定義。在二維空間中,稱為星形多邊形,數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義:一種是具有自相交稜的正星形多邊形,且自相交的稜不產生新的頂點,另一種是邊可遞的簡單凹多邊形[4]

參見[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. 
  2. ^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502 .
  3. ^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 .
  4. ^ Grünbaum & Shephard 1987,section 2.5

外部链接[编辑]