星形正多面體

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星型正多面體Kepler-Poinsot多面體)是一類凹多面體,共有四個。它們的表面均為正多邊形或正星形且每個頂點都有相同數目的邊連接。

透视图 立体图 名稱 施氏符號 X 對偶多面體 外接立體 內接立體 點群
SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png 小星形十二面體 {5/2,5} 12 30 五角星×12 -6 大十二面體 正十二面體 正二十面體 I_h
GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png 大十二面體 {5,5/2} 12 30 正五邊形×12 -6 小星形十二面體 正二十面體 正十二面體 I_h
GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png 大星形十二面體 {5/2,3} 20 30 五角星×20 2 大二十面體 正十二面體 正十二面體 I_h
GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png 大二十面體 {3,5/2} 12 30 等邊三角形×20 2 大星形十二面體 正二十面體 正二十面體 I_h

性質[编辑]

Petrie多邊形是指兩個連續邊都屬於多面體的一個面,但三邊不屬多面體的面的不共面多邊形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特證明了若正多面體{p,q}的Petrie多邊形有h邊,則有

\cos^2{\frac{\pi}{p}} + \cos^2{\frac{\pi}{q}} = \cos^2{\frac{\pi}{h}}

除了p,q,h均為正整數時,有5組解,對應5個正多面體。當p,q,h為正有理數時,有多4組解,分別對應4個Kepler-Poinsot多面體。

歷史[编辑]

  • 14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
  • 15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
  • 1619年開普勒重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體,並將它們和正多面體連繫起來。
  • 1809年路易斯·龐索發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
  • 1879年阿瑟·凱利敲定了這些形狀的名字。