五複合正四面體

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五複合正四面體
五複合正四面體
(點選檢視旋轉模型)
類別 複合正多面體
20
30
頂點 20
歐拉特徵數 F=20, E=30, V=20 (χ=10)
面的種類 本身結構
五個正四面體
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram {5,3}[5{3,3}] {3,5}[2]
對稱群 手性英语Chirality (mathematics)二十面體群英语Icosahedral symmetry (I)
參考索引 UC5, W24
對偶 五複合正四面體
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups 手性英语Chirality (mathematics)四面體群英语Tetrahedral symmetry (T)
星狀圖英语Stellation_diagram 星狀英语Stellation 凸包
Second compound stellation of icosahedron facets.png
Icosahedron.png
正二十面體
Dodecahedron.png
正十二面體

幾何學中,五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形[3],屬於星形二十面體[4],也是唯一五種正複合體之一[5]。,其索引編號為UC5。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型,其中也收錄了五複合正四面體,並將之給予編號W24[6]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中,編號為47[7],但這個多面體最早是由埃德蒙·赫斯在1876年發現並描述的。

性質[编辑]

五複合正四面體為五個正四面體組合成的形狀,由於沒有頂點共用的情況,因此其邊、面和頂點的數量為正四面體的5倍,共有20個面、30條邊和20個頂點

結構[编辑]

五複合正四面體可以視為正十二面體刻面英语faceting後的多面體,在正十二面體凸包中每個正四面體定位在12個頂點中的其中4個頂點。也因此,正十二面體有相同的頂點布局

Chiroicosahedron-in-dodecahedron.png
實體的五複合正四面體的旋轉模型

五複合正四面體可以透過將正四面體置於旋轉的二十面體群英语Icosahedral symmetry (I)構造

Face of Compound of Five Tetrahedra As a Simple Polyhedron.svg

其也可以利用20組3個凹五邊形組合起來構造,如上圖。這種凹五邊形有三種邊長,其中有兩組等長邊,較長的等長邊長度為黃金比例倒數的二平方根倍,為,較短的等長邊長度為黃金比例平方的倒數,為,另外一邊長度為黃金比例平方倒數的二平方根。這種方法由溫尼爾提出[9]

這種形狀也正是每個正四面體露出來的部分。

Spherical compound of five tetrahedra.png
球面鑲嵌
CompoundOfFiveTetrahedra.jpg
透明的模型
(旋轉模型)
Five tetrahedra.png
五個互交叉的四面體

頂點座標[编辑]

由於五複合正四面體可以看作是在正十二面體中嵌入正四面體,因此其頂點座標正十二面體相同:

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)
1/ϕ, ±ϕ, 0)
ϕ, 0, ±1/ϕ)

其中ϕ = 1 + 5/2黃金比例

作為星形多面體[编辑]

五複合正四面體是一種星形二十面體,其星狀核為正二十面體、凸包為正十二面體,在杜·瓦爾記號英语Patrick du Val中以Ef1d表示。

星狀圖英语Stellation diagram 星形 星狀核 凸包
Second compound stellation of icosahedron facets.png Second compound stellation of icosahedron.png Icosahedron.png
正二十面體
Dodecahedron.png
正十二面體

其他的五複合正四面體[编辑]

相關多面體[编辑]

五複合正四面體與其手性鏡像可組合出十複合正四面體,也就是說十複合正四面體可以看作是兩個五複合正四面體的複合體[10]

參考文獻[编辑]

  1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  1. ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  2. ^ Regular Polytopes (1973)[1], p.98
  3. ^ Wang, P. Portfolio : Renderings:. 加利福尼亞理工學院 計算機科學組. (原始内容存档于1999-09-13). Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra. 
  4. ^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
  5. ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
  6. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  7. ^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164. 
  8. ^ 8.0 8.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202
  9. ^ advocated by Wenninger, 1989[8]pp. 44
  10. ^ Cundy and Rollett, 1989[8] pp. 139-141

外部連結[编辑]