正多面體

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正多面體
Octahedron.jpg
正八面體
柏拉圖立體
Great dodecahedron.png
大十二面體
克卜勒-龐索立體
Compound of two tetrahedra.png
星形八面體
Mucube.png
四角六片四角孔扭歪無限面體

幾何學中,正多面體是同時具有等邊、等角和等面特性的多面體。在經典語境中,有許多描述上不同但實際上等價的定義存在,最常見的定義是每個面都是全等的正多邊形,且每個頂點都是相同數量且相同種類之正多邊形的公共頂點。例如立方體是一種正多面體,其每個面都是正方形,且每個頂點都是3個正方形的公共頂點。在中文環境中,一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體,又稱為柏拉圖立體,其包括了正四面體立方體正八面體正十二面體正二十面體。然而在定義上,正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體,而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體,也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外,還有四種非凸正多面體(克卜勒-龐索立體)、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。

概述[编辑]

立方體的其中一個標記,其包括了立方體本身、其中一個正方形面、該面的其中一條稜、稜上的一個頂點以及這個立方體中「什麼都不選」的子集,即空多胞形,五個元素,正好每個維度各一個元素,且較大的元素包含較小的元素。若一個多面體所具備的對稱性可以讓這個多面體中任意兩個這樣(如上圖)的結構(或元素)A與B,透過該對稱性下的變換(如旋轉、平移或鏡射)使得A變換到B的位置上時,其仍然佔據了相同的空間區域時,則這個多面體是一個正多面體,前面的性質又可以稱為標記可遞。

幾何學中,正多面體是一類對稱性可以在其各維度元素的集合(或稱標記[註 1])上傳遞的多面體。正多面體通常具有高度對稱性,其同時具有邊可遞,點可遞和面可遞的性質[註 2],換句話說,即正多面體是同時具有等邊、等角和等面特性的多面體。在經典語境中,有許多描述上不同但實際上等價的定義存在,最常見的定義是每個面都是全等的正多邊形,且每個頂點都是相同數量且相同種類之正多邊形的公共頂點。例如立方體是一種正多面體,其每個面都是正方形,且每個頂點都是3個正方形的公共頂點。

所有正多面體皆可以使用施萊夫利符號來表示,其可以計為{n, m}。其中n表示構成面的頂點數,m則表示與頂點相鄰的多邊形數量。在中文語境中,一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體,又稱為柏拉圖立體,其包括了正四面體立方體正八面體正十二面體正二十面體。然而在定義上,正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體,而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體,也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外,還有四種非凸正多面體(克普勒–龐索立體)、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。

正多面體[编辑]

一般常見的正多面體為五種正凸多面體,又稱為柏拉圖立體。除了這種凸多面體外,亦有非凸的正多面體,為四種星形正多面體,又稱為克普勒–龐索立體;以及五種正多面體的複合體。

柏拉圖立體[编辑]

廣泛地出現在文化中的五種正多面體。[2]

Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
正四面體 {3, 3} 立方體 {4, 3} 正八面體 {3, 4} 正十二面體 {5, 3} 正二十面體 {3, 5}
χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2

克普勒–龐索立體[编辑]

克卜勒-龐索立體的面同樣由正多邊形組成,但其面或邊有自我相交的情形,即非凸多面體。由於外觀如同星狀,因此又稱為星形正多面體。[3]

SmallStellatedDodecahedron.jpg GreatDodecahedron.jpg GreatStellatedDodecahedron.jpg GreatIcosahedron.jpg
小星形十二面體
{5/2, 5}
大十二面體
{5, 5/2}
大星形十二面體
{5/2, 3}
大二十面體
{3, 5/2}
χ = −6 χ = −6 χ = 2 χ = 2

複合正多面體[编辑]

由多個同一種正多面體組合而成且具有高度對稱性的結構也可以視為正多面體的一種。[4]例如兩個正四面體組成的星形八面體,其類似於由兩個正三角形組成的大衛之星在三維空間中的類比。多個正多面體的複合結構也可以有其他種類,然而其未必會符合標記[註 1]可遞[註 2]的特性,因此不能算是正多面體,例如三複合正八面體

Compound of two tetrahedra.png CompoundOfFiveTetrahedra.png Compound of ten tetrahedra.png Compound of five cubes.png Compound of five octahedra.png
二複合正四面體
星形八面體
2 {3, 3}
五複合正四面體
5 {3, 3}
十複合正四面體
10 {3, 3}
五複合立方體
5 {4, 3}
五複合正八面體
5 {3, 4}
χ = 4 χ = 10

性質[编辑]

正多面體最基本的特性就是每個面都是全等的正多邊形、每條邊等長且每角等角。

等價性質[编辑]

在定義中,每個頂點周圍有相似的面排佈的性質可以替換成下列的等價條件:

  • 此多面體的每個頂點都坐落在同一個球上(即存在外接球)
  • 每個二面角皆相等
  • 所有頂點圖(頂點的截面)皆為正多邊形
  • 所有立體角皆相等[5]

同心球[编辑]

正多面體具有三個相關的球體(其他非正多面體至少缺少一種),其球心位於同一個點上:

廣義的正多面體[编辑]

20世紀出現了一系列關於正多面體概念的概括,導致了正多面體出現了幾個新的種類。

正扭歪無限面體[编辑]

在20世紀最初的幾十年,考克斯特和皮特里考慮了頂點的排佈以及角呈現馬鞍形樣式的多面體類型,並找到了三種由正多邊形組成且無限延伸的折疊形幾何結構,被命名為正扭歪無限面體[6]

三維空間中的正扭歪無限面體的局部
Mucube.png
四角六片四角孔扭歪無限面體
{4,6|4}
Muoctahedron.png
六角四片四角孔扭歪無限面體
{6,4|4}
Mutetrahedron.png
六角六片三角孔扭歪無限面體
{6,6|3}

正扭歪多面體[编辑]

如同扭歪多邊形的定義(不共面的多邊形),有限面數的扭歪多面體則為其無法所有面或頂點皆位於同一個三維空間的多面體,因此會需要四維或以上的空間來構造限面數的扭歪多面體,就如同皮特里多邊形為正多面體上的一個不共面封閉路徑,有限面數的扭歪多面體可以從四維正多胞體中取一個不共三維空間的封閉區域來構造。[7]

四維空間中的正扭歪有限面體
平行考克斯特平面投影 球極平面投影
A4 F4
4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg Clifford-torus.gif
四角六片三角孔扭歪正三十面體
{4, 6 | 3}
{6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} {4, 4 | n}
30個正方形
60條邊
20個頂點
20個正六邊形
60條邊
30個頂點
288個正方形
576條邊
144個頂點
144個正八邊形
576條邊
288個頂點
n2個正方形面
2n2條邊
n2個頂點

位於非歐空間或其他空間的正多面體[编辑]

在非歐幾里德空間(雙曲空間、橢圓空間等)以及諸如複數空間或四元數空間等其他空間被發現之後,對於這些空間幾何學的研究導致了更多新種類的正多面體被發現,如複正多面體[8]等,但這些正多面體只能在特定空間中維持其正的特性。

複數空間的正多面體[编辑]

在幾何中,複數空間的多面體是實數空間中的多面體在複數空間的推廣。[8]

部分的複正多面體
名稱 黑塞二十七面體 雙黑塞二十七面體 截半黑塞二十七面體
施萊夫利符號 3{3}3{3}3 2{4}3{3}3 3{3}3{4}2
(頂點v、邊e、面f) (27, 72, 27) (54, 216, 72) (72, 216, 54)
27個3{3}3 Complex polygon 3-3-3.png 72個2{4}3英语3-3_duoprism#Related_complex_polygon 3-generalized-2-orthoplex skew.svg 54個3{3}3 Complex polygon 3-3-3.png
圖像
藍色表示其中一面
Complex polyhedron 3-3-3-3-3-one-blue-face.png Complex polyhedron 2-4-3-3-3 blue-edge.png Complex polyhedron 3-3-3-4-2-one-blue-face.png

四元數空間的正多面體[编辑]

在幾何中,四元數空間的多面體是實數空間中的多面體在四元數空間的推廣。其與複數空間類似,點不具有序性,因此沒有「位於...之間」的相互關係,因此一個四元數空間多面體可以被理解為一組點、線和面等的排佈關係,其中,點維多條線的連接點、線連接了多個面。由於四元數的乘法不具有交換率,因此必須透過純量與向量相乘來構建乘法系統,通常會使用左乘法。[10]

四元數空間的正多面體與實數空間的正多面體和複數空間的正多面體一樣,其對稱性皆可以被描述為反射群。例如,一個正的四元數空間直線可以與U1(H)的有限子群一一對應:二元循環群英语binary cyclic group、二元二面體群(參閱一般四元数群日语一般四元数群章節二元二面體群英语Dicyclic_group#Binary_dihedral_group二元四面體群英语binary tetrahedral group二元八面體群英语binary octahedral group二元二十面體群英语binary icosahedral group[11]

雙曲空間的正多面體[编辑]

三階六邊形鑲嵌蜂巢體{6,3,3}中的正六邊形鑲嵌{6,3}胞其頂點皆位於該雙曲空間极限球英语Horosphere上。這時可以將這個結構視為一個雙曲空間的正多面體。

在H3的雙曲仿緊空間中的正堆砌體或蜂巢結構體通常具有正鑲嵌圖的胞或頂點圖。在這樣的結構中,這些鑲嵌圖可以視為存在角虧並在封閉於一個無窮遠點。若當雙曲正堆砌體或蜂巢結構體位於非緊空間時則其會封閉於2個或以上個無窮遠點甚至是發散。

实射影平面的正多面體[编辑]

另一組正多面體為实射影平面的鑲嵌結構,其包括了立方體半形八面體半形十二面體半形二十面體半形[12]其皆為(全域)投影多面體,並且對應到四個柏拉圖立體的投影結構。由於正四面體不像其他四個柏拉圖立體一樣擁有相對面,因此正四面體無法形成多面體半形。

正多面體半形
Hemicube.svg
立方體半形
{4,3}
Hemioctahedron.png
八面體半形
{3,4}
Hemi-dodecahedron.png
十二面體半形
{3,5}
Hemi-icosahedron.png
二十面體半形
{5,3}

抽象正多面體[编辑]

到目前為止,多面體皆被認為是任意維度之多胞形在三維空間的例子。在20世紀下半葉出現了抽象代數概念的發展,如多面體組合學英语Polyhedral_combinatorics,最終形成抽像多胞形英语Abstract_polytope作為元素偏序关系的概念。抽像多面體的元素包括了它的主體(最大元素)、面、邊、頂點和空多胞形。這些抽像元素可以映射到普通空間或具體化成一個幾何形狀。一些抽象多面體具有良好具像化實例,但不一定所有的抽象多面體都能找到對應的具像化實例。抽象多面體與一般的多面體同樣可以定義標記[註 1]。若一抽象多面體的組合對稱性可以在其標記上傳遞[註 2],則這個抽象多面體為抽象正多面體,換句話說,即任何標記都可以在多面體的對稱性下映射到任何其他標記上。

在考克斯特於1977年出版的著作《正多胞形英语Regular_Polytopes_(book)》中列出了五種不存在良好具像化實例的抽象正多面體。後來在1987年耶爾格·邁克爾·威利德语Jörg Michael Wills的論文又再次的確定了共存在五種有這種性質的抽象正多面體。[13]這五種抽象多面體都具有C2×S5對稱性,但只能具像化出一半的對稱性,即C2×A5或二十面體群對稱性。[14][15][16]

多面體 DU36 medial rhombic triacontahedron.png
內側菱形三十面體
Dodecadodecahedron.png
截半大十二面體
DU41 medial triambic icosahedron.png
內側三角六邊形二十面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Excavated dodecahedron.png
凹五角錐十二面體
種類 {5,4}6的對偶 {5,4}6 {5,6}4的對偶 {5,6}4 {6,6}6
頂點圖 {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
30個菱形
Rhombus definition2.svg
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Medial triambic icosahedron face.png
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Star hexagon face.png
鑲嵌 Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

皮特里對偶[编辑]

柏拉圖立體的皮特里對偶英语皮特里對偶是一種正則地區圖英语Regular_map_(graph_theory),其頂點和邊對應於原始多面體的頂點和邊,其面是扭歪皮特里多邊形的集合。[17]

正皮特里多面體
名稱 皮特里四面體
皮特里立方體 皮特里八面體 皮特里十二面體 皮特里二十面體
施萊夫利符號 {3,3}π {4,3}π {3,4}π {5,3}π {3,5}π
(v,e,f), χ (4,6,3), χ = 1 (8,12,4), χ = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
3個扭歪四邊形 4個扭歪六邊形 6個扭歪十邊形
圖像 Tetrahedron 3 petrie polygons.png Cube 4 petrie polygons.png Octahedron 4 petrie polygons.png Petrial dodecahedron.png Petrial icosahedron.png
相關圖 Hemicube.svg
{4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0)
Regular map 6-3 2-0.png
{6,3}3 = {6,3}(2,0)
Regular map 6 4-3 pattern.png
{6,4}3 = {6,4}(4,0)
{10,3}5 {10,5}3

球面多面體[编辑]

五個凸正多面體和四個星形多面體皆可以表示成球面多面體,或球面鑲嵌:

Uniform tiling 332-t0-1-.png
正四面體
{3,3}
Uniform tiling 432-t0.png
立方體
{4,3}
Uniform tiling 432-t2.png
正八面體
{3,4}
Uniform tiling 532-t0.png
正十二面體
{5,3}
Uniform tiling 532-t2.png
正二十面體
{3,5}
Small stellated dodecahedron tiling.png
小星形十二面體
{5/2,5}
Great dodecahedron tiling.png
大十二面體
{5,5/2}
Great stellated dodecahedron tiling.png
大星形十二面體
{5/2,3}
Great icosahedron tiling.png
大二十面體
{3,5/2}

只能存於球面的正多面體[编辑]

Digonal dihedron.png
二角形二面體
{2,2}
Trigonal dihedron.png
正三角形二面體
{3,2}
Tetragonal dihedron.png
正方形二面體
{4,2}
Pentagonal dihedron.png
正五邊形二面體
{5,2}
Hexagonal dihedron.png
正六邊形二面體
{6,2}
... {n,2}
Digonal dihedron.png
正二面形
{2,2}
Trigonal hosohedron.png
正三面形
{2,3}
Spherical square hosohedron.png
正四面形
{2,4}
Spherical pentagonal hosohedron.png
正五面形
{2,5}
Hexagonal hosohedron.png
正六面形
{2,6}
... {2,n}

參見[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 多面體標記是一系列多面體元素的集合,這個集合中會包括1個多面體的主體、多面體的其中一個面、前者提到的面中的其中一條稜、前者提到的稜中的其中一個頂點和一個空多胞形
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 在多面體中,某種元素的「可遞」性質代表這立體上的任意兩個同類元素A和B,透過在該立體的對稱性下旋轉或鏡射這個立體,使A移動到B原來的位置時,其元素仍然佔據了相同的空間區域[1]

參考文獻[编辑]

  1. Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
  2. Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at mpiz-koeln.mpg.de
  3. Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
  4. Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
  5. Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
  1. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  2. ^ 欧几里得. 燕晓东, 编. 几何原本. 北京: 人民日报出版社. 2005年5月. ISBN 7-80208-294-3. 
  3. ^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
  4. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald. Regular Polytopes Third. Dover Publications. 1973: 48 [1948]. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003. 
  5. ^ Cromwell, Peter R. Polyhedra. Cambridge University Press. 1997: 77. ISBN 0-521-66405-5. 
  6. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
  7. ^ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.
  8. ^ 8.0 8.1 Coxeter, Complex Regular polytopes,[9] Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
  9. ^ Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 
  10. ^ Davis, C.; Grünbaum, B.; Sherk, F.A. The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift - Google Books. 2012-12-06 [2016-04-15]. ISBN 9781461256489. 
  11. ^ Hans Cuypers. Regular quaternionic polytopes. Linear Algebra and Its Applications. September 1995,. 226-228: 311–329. doi:10.1016/0024-3795(95)00149-L. 
  12. ^ Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388
  13. ^ Wills, Jörg Michael. The combinatorially regular polyhedra of index 2. aequationes mathematicae (Springer). 1987, 34 (2-3): 206––220. 
  14. ^ David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. (原始内容存档于2016-03-04). 
  15. ^ Regular Polyhedra of Index Two, I Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
  16. ^ Regular Polyhedra of Index Two, II  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
  17. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966 

外部連結[编辑]