點群

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數學裡,點群是指固定一點不動之幾何對稱等距同構)的

簡介[编辑]

點群存在於任一維度的歐幾里得空間中。一個離散之二維點群有時會被稱為薔薇圖案群(rosette group),且被用來描述裝飾品的對稱性。三維點群則大量地被使用於化學之中,尤其是在描述一個分子和形成共價鍵分子軌道的對稱性,且在一些文獻中亦會被稱成分子點群

在每一個維度裡都有著無限多個離散點群。但晶體侷限定理說只存在有限多個和平移對稱相容的離散點群。在一維裡有2個,二維裡有10個,三維裡則有32個,這些點群稱做晶體點群

香港區旗上的洋紫荊有著C5對稱;每片花瓣上的星形則有著D5對稱。

二維中[编辑]

二維點群可以分成兩個不同的種類,根據其對稱性是只有旋轉而已,還是亦包括鏡射。其循環群Cn(Zn抽象群類型)由360/n度和其整數倍的旋轉所構成。例如,有一對稱群C4,是由0度、90度、180度及270度等旋轉所構成的。正方形的對稱群屬於二面體群Dn(Dihn抽象群類型)的類型,包含和旋轉一樣多的鏡射。圓的無限旋轉對稱表示其鏡射對稱也是無限的,但形式上,圓群S1是不同於Dih(S1)的,因為其明確地包含了鏡射。

一個無限群不一定需要是連續的;例如,存在一由360/√2度的整數倍之旋轉組成的群,其中並不包含有180度的旋轉。

n=1,2,3,4,6的Cn和Dn可以和平移對稱相結點,有時還可以以不只一種的方式。因此,這十個群可以產生出17個壁紙群

三維中[编辑]

更複雜的對稱產生於三維之中,詳見三維點群

一般性[编辑]

在任何維數d裡,所有可能的定點等距同構之連續群為正交群,標記為O(d);且其所有可能的旋轉之連續子群為特殊正交群,標記為SO(d)。這並不是向夫立符號,而是從李群理論中生出的習慣標記。

另見[编辑]

外部連結[编辑]