渐近线

当曲线上一点$M$沿曲线无限远离原点时，如果$M$到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數$y=f \left(x \right)$的圖形收斂，則漸近線為$y=\lim_{x \to \infty} f \left(x \right)$，

例解

例如，直线$y=\frac{b}{a}x$是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线，因为双曲线上的点$M$到直线$y=\frac{b}{a}x$的距离$MQ<MN$；当$MN$无限趋近于0时，$MQ$也无限趋近于0。所以按照定义，直线$y=\frac{b}{a}x$是该双曲线的渐近线。同理，直线$y=-\frac{b}{a}x$也是该双曲线的渐近线。

对于$F\left(x,y \right)=0$来说，如果当$x \rightarrow a$时，有$y \rightarrow \infty$，就把$x=a$叫做$F \left(x,y \right)=0$的垂直渐近线；如果当$x \rightarrow \infty$时，有$y \rightarrow b$，就把$y=b$叫做$F \left(x,y \right)=0$的水平渐近线。例如，$y=3$是曲线$xy=3x+2$的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a$存在，且极限$\lim_{x \to + \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b$也存在，那么曲线$y=f \left(x \right)$具有渐近线$y=ax+b$。

例子

例：求$y=\frac{x^2}{1+x}$的渐近线。

解：(1)$x=-1$为其垂直渐近线。

(2)$\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x}$，即$a=1$；

$\lim_{x \to \infty} \left[f \left(x \right) -ax \right]=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1$，即$b=-1$；

所以$y=x-1$也是其渐近线。