漸近線

在解析幾何和微分學中，曲線的漸近線（英語：asymptote^{[註 1]}）是一條使得當 $x$ 或 $y$ 坐標之一或兩者趨於無窮大時，曲線與該線之間的距離接近零的線。在射影幾何和相關上下文中，曲線的漸近線是在無窮大點處與曲線相切的線。

漸近線分為三種類型：水平、垂直和傾斜。對於由函數 $y=f(x)$ 的圖給出的曲線，水平漸近線是水平線，函數的圖隨着 $x$ 趨於 $+\infty$ 或 $-\infty$ 趨近於水平線。垂直漸近線是垂直線，函數在該垂直線附近無限增長。斜漸近線的斜率非零但有限，因此當 $x$ 趨於 $+\infty$ 或 $-\infty$ 時，函數的圖接近該斜率。

更一般地說，如果兩條曲線之間的距離趨於無窮大，則兩條曲線之間的距離趨向於零，則一條曲線是另一條曲線的曲線漸近線，儘管術語「漸近線」本身通常是為線性漸近線保留的。

漸近線傳達有關大曲線特性的信息，確定函數的漸近線是繪製函數圖的重要步驟。從廣義上講，對功能漸近線的研究是漸近分析主題的一部分。當任意曲線上一點 $M$ 沿曲線無限遠離原點時，如果 $M$ 到一條直線（或另外一條曲線）的距離無限趨近於零，那麼這條直線（曲線）稱為這條曲線的漸近線。數學上的定義則是：若函數 $y=f\left(x\right)$ 的圖形收斂，則漸近線為 $y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$ 。

例解

例如，直線 $y={\frac {b}{a}}x$ 是雙曲線 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 的漸近線，因為雙曲線上的點 $M$ 到直線 $y={\frac {b}{a}}x$ 的距離 $MQ<MN$ ；當 $MN$ 無限趨近於0時， $MQ$ 也無限趨近於0。所以按照定義，直線 $y={\frac {b}{a}}x$ 是該雙曲線的漸近線。同理，直線 $y=-{\frac {b}{a}}x$ 也是該雙曲線的漸近線。

對於 $F\left(x,y\right)=0$ 來說，如果當 $x\rightarrow a$ 時，有 $y\rightarrow \pm \infty$ （左右極限不一定相等），就把 $x=a$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的垂直漸近線；如果當 $x\rightarrow \infty$ 時，有 $y\rightarrow b$ ，就把 $y=b$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的水平漸近線。例如， $y=3$ 是曲線 $xy=3x+2$ 的水平漸近線。

求法

依據

求漸近線，可以依據以下結論：

若極限 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$ 存在，且極限 $\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$ 也存在，那麼曲線 $y=f\left(x\right)$ 具有漸近線 $y=ax+b$ 。