最速降線問題

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从点A到点B的最速降线是一条摆线。

重力作用且忽略摩擦力的情況下,一個質點在一點A速率為零開始,沿某條曲線,去到一點不高於AB,怎樣的曲線能令所需的時間最短呢?這就是最速降線問題,又稱最短時間問題最速落徑問題。在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brochistos)和「時間」(chronos)。這條線段就是擺線,可以用變分學证明。

歷史[编辑]

1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,証明了此線是擺線,並在1696年6月在《博學通報》發表。艾薩克·牛頓雅各布·伯努利萊布尼茲洛必達都得出同一結論,即正确的答案应该是摆线的一段。事实上,約翰·伯努利当时找到的证明方法是错误的。而正确的证法是由他的哥哥雅各布发现的,在他发现以后,伯努利则将其据为己有。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明[编辑]

约翰·伯努利的证明[编辑]

费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,通过假设光在光速以恒定竖直加速度(也就是重力加速度g)加速的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。

运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

,

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离。通过机械能守恒可知,经不同的曲线下落,物体的速度与水平方向的位移无关。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

,

式中vm为常数,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。

通过上述方程,我们可以得到两条结论:

  1. 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切
  1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。

为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则

.

整理折射定律式中的各项并平方得到

可以解得dxdy

.

代入v和vm的表达式得到

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程

雅各布·伯努利的证明[编辑]

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足

.

dy不变求微分,得到

最后整理得到

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为

Path function 2.PNG

对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到

因此最短时间的情况为

最速降線的數學形式與最短時間[编辑]

在垂直平面上,自原點至目的地的最速降線具有以下數學形式:

[1]

這裡的座標軸方向向下,且為此擺線參數表達式的參數,原點處

物體自原點沿最速降線滑至處所需的時間可由以下積分式給出:

利用以及,並以作為參數,整理後得

自此擺線的參數式中易知的最大值為,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑,因此

現假設終點與原點直線距離,且終點對原點的俯角。利用此擺線的參數式,可知

最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。

利用的關係式求出,並代回下滑時間中,得

綜合上述,討論在已知的情況下,下滑時間與俯角的關係為

外部連結[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10].