从点A到点B的最速降线是一条摆线。
最速降線問題,又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下:假想你正在側視的場景有高低不同的兩點,且高點不是在低點的正上方,若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑(直線、曲線、或折線皆可)滑到低點,其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力,則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短?在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brachistos)和「時間」(chronos)。本問題的解答是擺線(而非很多人會猜想的直線),可以用變分法证明。
1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,證明了此線是擺線,並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論,即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。
费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。
运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
,
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知,经不同的曲线落下,物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:
的傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数
,
式中vm为常数(可认为为真空中光速c,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。
通过上述方程,我们可以得到两条结论:
- 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切。
- 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。
为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则
.
整理折射定律式中的各项并平方得到
![{\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0f56519a5eccf36f85df24670938acf844db1a)
可以解得dx对dy有
.
代入v和vm的表达式得到
![{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce06cbd1ebbeb9e612eef1c3d5f158eed2e152)
这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足
.
dy不变求微分,得到
![{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae58d965f432b499af2ec97915a006e54d2174c)
最后整理得到
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d67d238cc5eb20c33bed4906a251ae07b11b1d)
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为
![{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c13ec819992a37072e437fb1b6d126b43a3c057)
![{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43283d91d6bd84bb36e173f495802d83774fd75)
对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到
![{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8529cad3783061363a7b2bf02ca66e9de29ac3e7)
因此最短时间的情况为
![{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccdc84c317a9bf40713cfe9b369137ebbda9bd)
在垂直平面上,自原點
至目的地
的最速降線具有以下數學形式:
[1]
這裡的
座標軸方向向下,且
;
為此擺線參數表達式的參數,原點處
。
物體自原點沿最速降線滑至
處所需的時間可由以下積分式給出:
。
利用
以及
,並以
作為參數,整理後得
![{\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e94a0fabb0f57f1f98c0dec26fd60ddea7263a)
。
自此擺線的參數式中易知
的最大值為
,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑
,因此
![{\displaystyle k={\sqrt {2r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0db8af008041420e640add1a00c43174e09a4a7)
。
現假設終點與原點直線距離
,且終點對原點的仰角為
。利用此擺線的參數式,可知
![{\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbb2adbea6172bbaaffcd87d575324d09cb4ddc)
最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。
![{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f92b183ae08ea1fa36d0c5c955c938395387b7)
利用
的關係式求出
,並代回下滑時間中,得
![{\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e79681b528aba5f96a77cf4da126111b4886e7d)
綜合上述,討論在
已知的情況下,下滑時間
與俯角
的關係為
。
- ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. (原始内容存档于2020-11-12).