最速降线问题

从点A到点B的最速降线是一条摆线。

最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。问题如下：假想你正在侧视的场景有高低不同的两点，且高点不是在低点的正上方，若从高点放开一个静止的质点让它沿着任一路径（直线、曲线、或折线皆可）滑到低点，其间只有均匀的重力作用而没有摩擦力，则怎样的路径可让这段行程的时间最短？在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brachistos）和“时间”（chronos）。本问题的解答是摆线（而非很多人会猜想的直线），可以用变分法证明。

历史

1638年，伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹，证明了此线是摆线，并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、莱布尼茨和洛必达都得出同一结论，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外，其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。

证明

约翰·伯努利的证明

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

$v={\sqrt {2gy}}$,

式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:$v={\sqrt {2gy}}$的传输介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

${\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}$,

式中v_m为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

1. 在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则

$v_{m}={\sqrt {2gD}}$.

整理折射定律式中的各项并平方得到

$v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})$

可以解得dx对dy有

$dx={\frac {vdy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}$.

代入v和v_m的表达式得到

$dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy$

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

雅各布·伯努利的证明

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$.

dy不变求微分，得到

$2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x$

最后整理得到

${\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t$

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d²x。对新旧两条路径，改变量为

$d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x$

$d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x$

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

$d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x$

因此最短时间的情况为

${\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}$

最速降线的数学形式与最短时间

在垂直平面上，自原点$\left(\,0,\,0\right)$至目的地$\left(\,x_{1},\,y_{1}\right)$的最速降线具有以下数学形式：

$x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).$

这里的$y$坐标轴方向向下，且$y_{1}\geq 0$；$\theta$为此摆线参数表达式的参数，原点处$\theta =0$。

物体自原点沿最速降线滑至$\theta =\theta _{1}$处所需的时间可由以下积分式给出：

$t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm {d} t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm {d} s}{v}}$。

利用$ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}$以及$v={\sqrt {2gy}}$，并以$\theta$作为参数，整理后得

${\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta$

$t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}$。

自此摆线的参数式中易知$y$的最大值为$k^{2}$，此值必须等于摆线的绕转圆直径$2r$，因此

$k={\sqrt {2r}}$

$t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}$。

现假设终点与原点直线距离$\ l\$，且终点对原点的仰角为$\phi$。利用此摆线的参数式，可知

$l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}$

最速降线问题的终点俯角-最短下滑时间关系曲线。图中原点到终点的直线距离定为1.00米，下滑时间随俯角增大而缩短。

$\tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}$

利用$l$的关系式求出$r$，并代回下滑时间中，得

$t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}$

综合上述，讨论在$\ l\$已知的情况下，下滑时间$t$与俯角$\phi$的关系为

$\left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)$。

外部链接

• 重力下的最快下降曲线：国立中央大学物理演示实验网站；内含实验影片。
• Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （页面存档备份，存于互联网档案馆）：有详细的公式证明。（英文）