欧几里得几何

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
欧几里得

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学

欧几里得几何有时就指二维平面上的几何,即平面几何。本文主要描述平面几何。 三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间

数学上,欧几里得几何是指二维平面和三维空间中的几何,基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

其中公設五又稱之為平行公設(Parallel Axiom),敘述比較複雜,這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯(F. Gauss, 1777年—1855年)的時代,公設五就備受質疑,俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利人波約(Bolyai)闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」,從而發現非歐幾里得的幾何學,即「非歐幾何」(non-Euclidean geometry)。

公理描述[编辑]

歐幾里得證明的要素,由於一個正三角形的存在必須包含每個線段,包含ΑΒΓ等邊三角形的構成,是由Α和Β兩點,畫出圓Δ與圓Ε,並且交叉於第三點Γ上。

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里得平面几何的五条公理(公设)是:

  1. 从一向另一可以引一条直线。
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个
  4. 所有直角相等
  5. 若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理平行公设),可以导出下述命题:

通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不能被证明的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。

从另一方面讲,欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如,该几何中的定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统

欧几里得还提出了五个“一般概念”,也可以作为公理。当然,之后他还使用的其他性质。

  1. 与同一事物相等的事物相等。
  2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
  3. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
  4. 一个事物与另一事物重合,则它们相等。
  5. 整体大于局部。

现代方法[编辑]

如今,欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法,而是通过解析几何。通过这种方法,可以像证明定理一样证明欧几里得几何(或非欧几里得几何)中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮,但绝对简练。

  • 构造

首先,定义“点的集合”为实数(x, y) 的集合。给定两个点 P=(x, y)Q=(z, t),定义距离:

|PQ|=\sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.

这就是“欧几里得度量”。所有其他概念,如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 PQ 的直线可以定义成点的集合 A 满足

|PQ| =|PA|+|AQ| |PQ| =\pm(|PA|-|AQ|)

经典定理[编辑]

参见[编辑]