组合数学

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广义的组合数学英语:Combinatorics)就是离散数学,狭义的组合数学组合计数图论代数结构数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可數或离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数组合设计组合矩阵组合优化最佳組合)等。

发展历程[编辑]

虽然数数始于结绳计数的远古时代,由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段,谈不上有什么技巧。随着人们对于数的了解和研究,在形成与数密切相关的数学分支的过程中,如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展,逐步地从数的多样性发现数数的多样性,产生了各种数数的技巧。

同时,人们对数有了深入的了解和研究,在形成与形密切相关的各种数学分支的过程中,如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发展,逐步地从形的多样性也发现了数形的多样性,产生了各种数形的技巧。近代的集合论、数理逻辑等反映了潜在的数与形之间的结合。而现代的代数拓扑和代数几何等则将数与形密切地联系在一起了。这些,对于以数的技巧为中心课题的近代组合学的形成与发展都产生了而且还将会继续产生深刻的影响。

于11和12世纪间,贾宪就发现了二项式系数,杨辉将它整理记载在他的《续古抉奇法》一书中。这就是中国通常称的杨辉三角。事实上,于12世纪印度的婆什迦罗第二也发现了这种组合数。13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角。而在西方,布莱士·帕斯卡发现这个三角形是在17世纪中期。这个三角形在其他数学分支的应用也是屡见不鲜的。同时,帕斯卡和费马均发现了许多与概率论有关的经典组合学的结果。因此,西方人认为组合学开始于17世纪。组合学一词是德国数学家莱布尼茨在数学的意义下首次应用。也许,在那时他已经预感到了其将来的蓬勃发展。然而只有到了18世纪欧拉所处时代,组合学才可以说开始了作为一门科学的发展,因为那时,他解决了柯尼斯堡七桥问题,发现了多面体(首先是凸多面体,即平面图的情形)的顶点数、边数和面数之间的简单关系,被人们称为欧拉公式。甚至,当今人们所称的哈密顿圈的首创者也应该是欧拉。这些不但使欧拉成为组合学的一个重要组成部分——图论而且也成为占据现代数学舞台中心的拓扑学发展的先驱。同时,他对导致当今组合学中的另一个重要组成部分——组合设计中的拉丁方的研究所提出的猜想,人们称为欧拉猜想,直到1959年才得到完全的解决。

于19世纪初,高斯提出的组合系数,今称高斯系数,在经典组合学中也占有重要地位。同时,他还研究过平面上的闭曲线的相交问题,由此所提出的猜想称为高斯猜想,它直到20世纪才得到解决。这个问题不仅贡献于拓扑学,而且也贡献于组合学中图论的发展。同在19世纪,由乔治·布尔发现且被当今人们称为布尔代数的分支已经成为组合学中序理论的基石。当然,在这一时期,人们还研究其他许多组合问题,它们中的大多数是娱乐性的。

20世纪初期,庞加莱联系多面体问题发展了组合学的概念与方法,导致了近代拓扑学从组合拓扑学到代数拓扑学的发展。于20世纪的中、后期,组合学发展之迅速也许是人们意想不到的。首先,于1920年费希尔(Fisher,R.A.)和耶茨(Yates,F.)发展了实验设计的统计理论,其结果导致后来的信息论,特别是编码理论的形成与发展.于1939年,坎托罗维奇(Канторович,Л.В.)发现了线性规划问题并提出解乘数法。于1947年丹齐克(Dantzig,G.B.)给出了一般的线性规划模型和理论,他所创立的单纯形方法奠定了这一理论的基础,阐明了其解集的组合结构。直到今天它仍然是应用得最广泛的数学方法之一。这些又导致以网络流为代表的运筹学中的一系列问题的形成与发展。开拓了人们目前称为组合最优化的一个组合学的新分支。在20世纪50年代,中国也发现并解决了一类称为运输问题的线性规划的图上作业法,它与一般的网络流理论确有异曲同工之妙。在此基础上又出现了国际上通称的中国邮递员问题。

近20年来,用组合学中的方法已经解决了一些即使在整个数学领域也是具有挑战性的难题。例如,范·德·瓦尔登(Van der Waerden,B.L.)于1926年提出的关于双随机矩阵积和式猜想的证明;希伍德(Heawood,P.J.)于1890年提出的曲面地图着色猜想的解决;著名的四色定理的计算机验证和扭结问题的新组合不变量发现等。在数学中已经或正在形成着诸如组合拓扑、组合几何、组合数论、组合矩阵论、组合群论等与组合学密切相关的交叉学科。此外,组合学也正在渗透到其他自然科学以及社会科学的各个方面,例如,物理学、力学、化学、生物学、遗传学、心理学以及经济学、管理学甚至政治学等。

根据组合学研究与发展的现状,它可以分为如下五个分支:经典组合学、组合设计、组合序、图与超图和组合多面形与最优化.由于组合学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支,也许和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论.然而,如何在上述的五个分支的基础上建立一些统一的理论,或者从组合学中独立出来形成数学的一些新分支将是对21世纪数学家们提出的一个新的挑战。

在中国当代的数学家中,较早地在组合学中的不同方面作出过贡献的有 华罗庚、 吴文俊、 柯召、 万哲先、 张里千和 陆家羲等.其中,万哲先和他领导的研究组在有限几何方面的系统工作不仅对于组合设计而且对于图的对称性的研究都有影响.陆家羲的有关不交斯坦纳三元系大集的一系列的文章不仅解决了组合设计方面的一个难题,而且他所创立的方法对于其后的研究者也产生了和正产生着积极的作用。

组合数学中的著名问题[编辑]

  • 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列組合整數分拆的。
  • 地图着色问题:对世界地图着色,每一個国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异,是否总共只需四种颜色?這是圖論的問題。
  • 船夫过河问题:船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场,羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河?這是線性規劃的問題。
  • 中国邮差问题:由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次,怎样行走走过的路程最短?这不是一个NP完全问题,存在多项式复杂度算法:先求出度为奇数的点,用匹配算法算出这些点间的连接方式,然后再用欧拉路径算法求解。這也是圖論的問題。
  • 任务分配问题(也称分配问题):有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少?這是線性規劃的問題。
  • 如何構造幻方幻方為一方陣,填入不重複之自然數,並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之總和皆相同。

基本计数原理[编辑]

  • 加法原理和分类计数法
  1.加法原理

做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同方法。

  2.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。
  • 乘法原理和分步计数法
   1.乘法原理:

做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。

   2. 合理分步的要求:

任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。

排列[编辑]

个元素中取出个元素,个元素的排列數量為:

賽馬為例,有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码,從8匹馬中取出3匹馬來排前3名,排列數量為:

因为一共存在336种可能性,因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是:

不過,中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作(A代表Arrangement,即排列)。

上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

个元素中取出个元素,个元素可以重复出现,這排列數量為:

[1]

四星彩為例,10個數字取4個數字,因可能重複所以排列數量為:

这时的一次性添入中奖的概率就应该是:

组合[编辑]

和排列不同的是,组合取出元素的顺序不考虑。

个元素中取出个元素,个元素的组合數量为:

六合彩為例。在六合彩中从49顆球中取出6顆球的组合數量为:

如同排列,上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

个元素中取出个元素,個元素可以重複出現,這组合數量为:

以取色球為例,每種顏色的球有無限多顆,從8種色球中取出5顆球,這組合數量為:

因為組合數量公式特性,重複組合轉換成組合有另一種公式為:

另外也可以記為[2]

总结[编辑]

中取 直線排列
(考慮順序)
环状排列 组合
(不考慮順序)
不重复出现
(不放回去)

OEIS中的数列A008279

OEIS中的数列A111492

OEIS中的数列A007318
可重复出现
(再放回去)

OEIS中的数列A004248

OEIS中的数列A075195

OEIS中的数列A097805

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  2. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

外部連結[编辑]