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组合数学

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广义的组合数学(英语:Combinatorics)相当于离散数学,狭义的组合数学组合计数图论代数结构数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数组合设计(Combinatorial design英语Combinatorial design)、组合矩阵(Combinatorial matrix theory英语Combinatorial matrix theory)、组合最佳化最佳组合)等。

历史

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An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的组合数学的思想和枚举的方法在古老时代就已经出现。西元前6世纪的古印度外科医生妙闻指出可以由6种相异味道组合出63种相异结果(每种味道都可以选择或不选择,但不能都不选择,因此有26−1=63种组合);古罗马时期,希腊史学家普鲁塔克克律西波斯喜帕恰斯讨论了后来显示与Schröder–Hipparchus数英语Schröder–Hipparchus number有关的枚举问题[1][2];西元前3世纪的阿基米德在其数学文章Ostomachion英语Ostomachion中讲述拼接拼图的智力游戏(tiling puzzle)。

中世纪时,组合数学持续发展(主要是欧洲外的文明)。西元850年的印度数学家Mahāvīra英语Mahāvīra (mathematician)提供了关于排列数与组合的公式[3][4],甚至可能早在6世纪的印度数学家就对这些公式熟悉[5] 。西元1140年哲学家天文学家阿伯拉罕·伊本·埃兹拉确认了二项式系数的对称性,而二项式系数公式则是由犹太人数学家吉尔松尼德在西元1321年得到[6]杨辉三角形最早可追溯至10世纪的数学论文,在中国则首现于13世纪南宋杨辉详解九章算法》。在英格兰则出现与哈密顿回路相关的例子[7]

文艺复兴时期,与其他数学或科学领域一样,组合数学再现生机。帕斯卡牛顿雅各布·白努利欧拉等人的研究为此新兴领域打下基础。在更近代,西尔维斯特马克斯·马奥尼也在组合计数代数组合学有贡献。数学家也对四色问题图论有极大兴趣。

在20世纪下半叶,组合数学成长相当迅速,甚至出现数十种新的期刊和会议[8],这种成长某程度上是由与其他领域的连结与应用所带动,如代数机率论泛函分析数论

组合数学中的著名问题

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  • 计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列组合整数分拆
  • 地图着色问题:为地图填色,每区用一色。如果要邻区颜色相异,是否只需四色?这是图论题。
  • 船夫过河问题:船夫要把一匹狼、一只羊和一棵菜运过河。只要船夫不在场,羊就会吃白菜、狼就会吃羊,但船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西运过河?这是线性规划题。
  • 中国邮差问题:由中华民国组合数学家管梅谷教授提出。邮差要穿过城市的每一条路至少一次,怎样行走走过的路程最短?这不是NP完全问题,存在多项式复杂度算法:先求出度为奇数的点,用匹配算法算出这些点间的连接方式,然后再用欧拉路径算法求解。也是图论题。
  • 任务分配问题(也称分配问题):有一些员工要完成一些任务。各员工完成不同任务用的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只分给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少?也是线性规划题。
  • 如何构造幻方幻方为一方阵,填入不重复之自然数,并使其中每一纵列、横列、对角线内数字之和皆相同。
  • 数独:游戏一般由9个3×3个的九宫格组成。每一列的数字均须包含 1~9,不能缺少,也不能重复。每一宫(粗黑线围起来的区域,通常是 3x3 的九宫格)的数字均须包含 1~9,不能缺少,也不能重复。参见Mathematics_of_Sudoku英语Mathematics_of_Sudoku

排列

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个元素取出个元素,个元素的排列数量为:

赛马为例,有8匹马参赛,玩家需在彩票上填入前三匹胜出的马匹号码,从8匹马取出3匹来排前3名,排列数量为:

因为有336种排列,因此玩家在一次填入中中奖的概率是:

(假设每匹马赢的机会相等)

不过,中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作(A代表Arrangement,即排列[9])。

上例是在取出元素不重复出现的状况建立。

个元素取出个元素,个元素可以重复出现,这排列数量为:

[10]

四星彩为例,10个数取4个,因可能重复所以排列数量为:

这时的一次性添入中奖的概率就是:

组合

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和排列不同的是,组合不考虑取出元素的顺序。

个元素取出个,个元素的组合数量为:

中国大陆的教科书则是把从的情况记作[11]

以香港六合彩为例,六合彩49颗球选6颗的组合数量为:

如同排列,上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。

个元素取出个元素,个元素可以重复出现,组合数量为:

以取色球为例,每种颜色的球有无限多颗,从8种色球取出5颗球,这组合数量为:

因为组合数量公式特性,重复组合转换成组合有另一种公式为:

另外也可以记为[12]

总结

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中取 直线排列
(考虑顺序)
环状排列 组合
(不考虑顺序)
不重复出现
(不放回去)

OEIS数列A008279

OEIS数列A111492

OEIS数列A007318
可重复出现
(再放回去)

OEIS数列A004248

OEIS数列A075195

OEIS数列A097805

参见

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参考文献

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  1. ^ Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
  2. ^ Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446.
  3. ^ 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Mahavira, MacTutor数学史档案 (英语) 
  4. ^ Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, Selin, Helaine (编), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000 [2019-07-21], ISBN 978-1-4020-0260-1, (原始内容存档于2016-11-27) 
  5. ^ Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. Historia Mathematica. 1979, 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  6. ^ Maistrov, L.E., Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press: 35, 1974 [2019-07-21], ISBN 978-1-4832-1863-2, (原始内容存档于2021-04-16) . (Translation from 1967 Russian ed.)
  7. ^ White, Arthur T.; "Ringing the Cosets", American Mathematical Monthly, 94 (1987), no. 8, 721–746; White, Arthur T.; "Fabian Stedman: The First Group Theorist?", American Mathematical Monthly, 103 (1996), no. 9, 771–778.
  8. ^ See Journals in Combinatorics and Graph Theory页面存档备份,存于互联网档案馆
  9. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 10. ISBN 9787107187544. 
  10. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  11. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 16. ISBN 9787107187544. 
  12. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

外部链接

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