几何数论

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数论中,几何数论研究凸体和在n空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系,尤其研究在函数分析丢番图逼近中,对有理数无理数逼近问题。[1]

闵可夫斯基的结果[编辑]

  • 闵可夫斯基定理,有时也被称为闵可夫斯基第一定理:
假设Γ是在n欧氏空间RnK是中心对称凸体vol(K)>2^nvol(R^n/\Gamma) ,则K包含Γ非零的向量。
  • 闵可夫斯基第二定理,是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界,为 λk,称为连续最低。

则λK在Γ中ķ线性无关,则有:

\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n vol(K)\le 2^n vol(R^n/\Gamma).

近现代几何数论研究[编辑]

在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果(包括路易·莫德尔,哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔)。近年来,Lenstra,奥比昂,巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。

  • 施密特子空间定理
  • 在几何数论的子空间定理,由沃尔夫冈·施密特在1972年证明
  • 如果L1,...,Ln作为代数系数线性无关的,任何给定的实数ε> 0,对非零整数点x,:|L_1(x)\cdots L_n(x)|<|x|^{-\epsilon}

Qn.真子空间数量有限。

对函数分析的影响[编辑]

始于闵可夫斯基的几何数论函数分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明,对称凸体诱导有限维向量空间范数。 ,闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫,推广到拓扑向量空间柯尔莫哥洛夫指封闭的,有界对称凸集生成Banach空间拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集非凸集取得了一些成果。

参考文献[编辑]

  1. ^ Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.
  • Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
  • Enrico Bombieri; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. Feb 1983, 73 (1): 11–32. doi:10.1007/BF01393823. 
  • Enrico Bombieri and Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 2006. 
  • J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
  • John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
  • R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
  • P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
  • P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
  • M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
  • Hancock, Harris. Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. 1939.  (Republished in 1964 by Dover.)
  • Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
  • Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W., An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press. 1984:  xii+240, ISBN 0-521-27585-7 
  • C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
  • Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W., Jr.; Lovász, L. Factoring polynomials with rational coefficients. Mathematische Annalen. 1982, 261 (4): 515–534. doi:10.1007/BF01457454. MR 0682664. 
  • L. Lovász: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
  • Malyshev, A.V., Geometry of numbers//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Minkowski, Hermann, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner. 1910 
  • Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
  • Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
  • Siegel, Carl Ludwig. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 1989. 
  • Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
  • Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.