有理数

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

数学上,有理数是一个整数a和一個非零整數b,例如3/8,通則為a/b,故又稱作分數。所有有理数的集合表示为Q,Q+,或\mathbb{Q}。定义如下:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數

词源[编辑]

有理数在希臘文中称為λογος,原意是「成比例的數」。英文取其意,以ratio為字根,在字尾加上-nal构成形容词,全名為rational number,直译成汉语即是「可比數」。对应地,無理數则为「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《几何原本》,在中國明代,從西方傳入中國,而從中國傳入日本時,出現了錯誤。

明末數學家徐光启和學者利玛窦翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞(“λογος”)譯為“理”,這個“理”指的是“比值”。日本在明治維新以前,歐美數學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理,而不是文言文所解釋的“比值”。後來,日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”。

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。末中國派留學生到日本,將此名詞傳回中國,以至現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法

可見,由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位,才出現了今天的誤譯。

运算[编辑]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法乘法如下:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

两个有理数\frac{a}{b}\frac{c}{d}相等当且仅当ad =  bc

有理数中存在加法和乘法的逆:

- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0时,\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}

古埃及分数[编辑]

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:

\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}

对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建[编辑]

数学上可以将有理数定义为建立在整数有序对\left(a, b\right)等价类,这里b不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:

\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)
\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)

为了使2/4 = 1/2,定义等价关系\sim如下:

\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim 。例如:两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。)

Q上的全序关系可以定义为:

\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)当且仅当
  1. bd > 0 并且ad \le bc
  2. bd < 0 并且ad \ge bc

性质[编辑]

有理数集是可数的

集合\mathbb{Q},以及上述的加法和乘法运算,构成,即整数\mathbb{Z}商域

有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含\mathbb{Q}的一个拷贝(即存在一个从\mathbb{Q}到其中的同构映射)。

\mathbb{Q}代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域

所有有理数的集合是可数的,亦即是說\mathbb{Q}基數(或)與自然數集合\mathbb{N}相同,都是阿列夫數\aleph_0。因为所有实数的集合是不可数的,从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。

实数[编辑]

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,僅有理数可化為有限连分数

依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量d\left(x, y\right) = |x - y|,有理数构成一个度量空间,这是\mathbb{Q}上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间实数\mathbb{Q}的完备集。

p进数[编辑]

除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将\mathbb{Q}转化到拓扑域:

p素数,对任何非零整数a|a|_p = p^{-n},这里p^{n}整除ap的最高次幂;

另外|0|_p = 0。对任何有理数\frac{a}{b},设\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}

d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p\mathbb{Q}上定义了一个度量

度量空间\left(\mathbb{Q}, d_p\right)不完备,它的完备集是p进数\mathbb{Q}_p

参见[编辑]