有理数

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

数学上,可以表达为两个整数比的数(a/b, b!=0)被定义为有理数,例如3/8,0.75(可被表达为3/4),与此对应的是无理数,如无法用整数比表示。
有理数分數的区别,分數是一种表示比值的记法,如 分數/2 是无理数
所有有理数的集合表示为Q,Q+,或。定义如下:

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數

词源[编辑]

有理数在希臘文中称為λογος,原意是「成比例的數」。英文取其意,以ratio為字根,在字尾加上-nal构成形容词,全名為rational number,直译成汉语即是「可比數」。对应地,無理數则为「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《几何原本》,在中國明代,從西方傳入中國,而從中國傳入日本時,出現了錯誤。

明末數學家徐光启和學者利玛窦翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞(“λογος”)譯為“理”,這個“理”指的是“比值”。日本在明治維新以前,歐美數學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理,而不是文言文所解釋的“比值”。後來,日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”。

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。末中國派留學生到日本,將此名詞傳回中國,以至現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法

可見,由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位,才出現了今天的誤譯。[來源請求]

运算[编辑]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法乘法如下:

两个有理数相等当且仅当

有理数中存在加法和乘法的逆:

时,

古埃及分数[编辑]

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:

对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建[编辑]

数学上可以将有理数定义为建立在整数有序对等价类,这里不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:

为了使,定义等价关系如下:

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集。例如:两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。)

Q上的全序关系可以定义为:

当且仅当
  1. 并且
  2. 并且

性质[编辑]

有理数集是可数的

集合,以及上述的加法和乘法运算,构成,即整数商域

有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝(即存在一个从到其中的同构映射)。

代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域

所有有理数的集合是可数的,亦即是說基數(或)與自然數集合相同,都是阿列夫數。因为所有实数的集合是不可数的,从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。

实数[编辑]

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,僅有理数可化為有限连分数

依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量,有理数构成一个度量空间,这是上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间实数的完备集。

p进数[编辑]

除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将转化到拓扑域:

素数,对任何非零整数,这里整除的最高次幂;

另外。对任何有理数,设

上定义了一个度量

度量空间不完备,它的完备集是p进数

参见[编辑]