本页使用了标题或全文手工转换

等价类

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

数学中,假設在一个集合上定義一个等价关系(用來表示),则中的某個元素等价类就是在中等价于的所有元素所形成的子集:

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在中的给定等价关系的所有等价类的集合表示为并叫做除以商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动,所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是,如果是有限的并且等价类都是等势的,则的序是除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合

对于任何等价关系,都有从的一个规范投影映射,给出为。这个映射总是满射的。在有某种额外结构的情况下,考虑保持这个结构的等价关系,接着称这个结构是良好定义的,而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象;从映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系

例子[编辑]

  • 如果是轿车的集合,而 是“颜色相同”的等价类,则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
  • 考虑在整数集合上的“” ﹝見同餘﹞等价关系: 当且仅当偶数。这个关系精确的引发两个等价类: 由所有偶数组成,由所有奇数组成。在这个关系下都表示的同一个元素。
  • 有理数可以构造为整数的有序对 的等价类的集合,不能为零,这里的等价关系定义为
当且仅当
这里的有序对 的等价类可以被认同于有理数
  • 任何函数定义在X上的等价关系,通过 当且仅当的等价类是在中被映射到的所有元素的集合,就是说,类逆像。这个等价关系叫做
  • 给定子群,我们可以定义在上的等价关系,通过当且仅当。这个等价类叫做H在G中的右陪集;其中之一是自身。它们都有同样数目的元素(在无限的情况下是)。如果正规子群,则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
  • 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
  • 连续映射同伦类是所有同伦于的所有映射的等价类。
  • 自然语言处理中,等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如,在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的,所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质[编辑]

因为等价关系的中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成划分:所有的元素属于一且唯一的等价类。反过来,的所有划分也定义了在上等价关系。

它还得出等价关系的性质

当且仅当

如果是在上的等价关系,而的元素的一个性质,使得只要为真如果为真,则性质被称为良好定义的或在关系下“类恒定”的。常见特殊情况出现在是从到另一个集合的时候;如果蕴涵被称为在下恒定的类,或简单称为在下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数的后者情况可以被表达为交换三角关系.参见不變量

参见[编辑]