态射

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数学上,态射(morphism)是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象

最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数映射。例如,在集合论中,态射就是函数;在群论中,它们是群同态;而在拓扑学中,它们是连续函数;在泛代数(universal algebra)的范围,态射通常就是同态

对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中,态射不必是函数,而通常被视为两个对象(不必是集合)间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合,它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。

尽管态射的本质是抽象的,多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子,在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。

定义[编辑]

一个范畴C由两个数据给定:一个对象和一个态射的类。

有两个操作定义在每个态射上,(domain)(或源)和陪域(codomain)(或目标)。

态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示,例如若一个态射f域为X而陪域为Y,它记为f : XY。所有从XY的态射的集合记为homC(X,Y)或者hom(X, Y)。(有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X, Y))。

对于任意三个对象XYZ,存在一个二元运算 hom(X, Y) × hom(Y, Z) → hom(X, Z)称为复合。f : XYg : YZ的复合记为g\circ fgf(有些作者采用fg)。态射的复合经常采用交换图来表示。例如

MorphismComposition-01.png

态射必须满足两条公理

  • 存在恒等态射:对于每个对象X,存在一个态射idX : XX 称为X上的恒等态射,使得对于每个态射f : AB 我们有{\rm id}_B\circ f=f=f\circ{\rm id}_A
  • 满足结合律h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f在任何操作有定义的时候。

C是一个具体范畴的时候,复合只是通常的函数复合,恒等态射只是恒等函数,而结合律是自动满足的。(函数复合是结合的。)

注意域和陪域本身是决定态射的信息的一部分。例如,在集合的范畴,其中态射是函数,两个函数可以作为有序对的集合相等,但却有不同的陪域。这些函数从范畴论的目的来说被视为不同。因此,很多作者要求态射类hom(X, Y)是不交的。实际上,这不是一个问题,因为如果他们不是不交的,域和陪域可以加到态射上,(例如,作为一个有序三元组的第二和第三个分量),使得它们不交(互斥,disjoint)。

态射的类型[编辑]

  • 同构(isomorphism):令f : XY为一个态射。若存在态射g : YX使得f\circ g={\rm id}_Yg\circ f={\rm id}_X成立,则f称为一个同构g 称为f的逆态射,逆态射g如果存在就是唯一的,而且显而易见g也是一个同构,其逆为f。两个对象之间有一个同构,那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。[1][2]
  • 满同态英语epimorphism(epimorphism):一个态射f : XY称为一个满同态,如果对于所有YZ的态射g1g2 g_1\circ f=g_2\circ f \Rightarrow g_1=g_2成立。这也称为epiepic.具体范畴中的满同态通常是满射(surjective)函数,虽然并不总是这样。[3][2]
  • 单同态英语monomorphism(monomorphism):态射f : XY 称为单同态,如果对于所有ZX的态射g1g2f\circ g_1=f\circ g_2 \Rightarrow g_1=g_2成立。它也称为mono或者monic.具体范畴中的单同态通常为单射(injective)函数。 [4][2]
  • 双同态(bimorphism):若f既是满同态也是单同态,则称f为双同态(bimorphism)。

注意每个同构都是双同态,但不是每个双同态都是同构。例如,交换环的范畴中,包含映射Z → Q是一个双同态,但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构,则这个范畴称为一个平衡范畴。例如,集合是一个平衡范畴。

  • 自同态(endomorphism):任何态射f : XX称为X上的一个自同态
  • 自同构(automorphism):若一个自同态也是同构的,那么称之为自同构。
  • f : XYg : YX 满足f\circ g={\rm id}_Y可是证明f是满的而g是单的,而且g\circ f : XX幂等的.这种情况下,fg称为分割(split). f称为g的收缩(retraction)而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射,或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。

例子[编辑]

更多的例子参看范畴论条目。

参看[编辑]

腳注[编辑]

  1. ^ isomorphism - 同構,雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Group Homomorphisms,大學基礎代數李華介國立台灣師範大學數學系
  3. ^ epimorphism - 蓋同態,雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院
  4. ^ monomorphism - 嵌型同態;單同態,雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院