光滑函数

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光滑函数(smooth function)数学中特指无穷可导的函数,也就是说,存在所有有限阶导数。若一函数是连续的,则称其为C^0函数;若函数存在连续导函数,即连续可导,则被称为C^1函数;若一函数n阶可导,并且其n阶导函数连续,则为C^n函数(n\geq 1)。而光滑函数是对所有n都属于C^n函数,特称其为C^\infty函数

例如,指数函数显然是光滑的,因为指数函数的导数是指数函数本身。

按照要求构造光滑函数[编辑]

构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的;另一方面来讲,一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟;所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。

要给出这样的函数的显式构造,我们从构造如下的函数开始

f(x)=\exp(-\frac{1}{x})

开始先对x>0定义。我们不但有

\lim_{x\to 0} f(x)\to 0(从上式可以得到)

而且对于所有多项式P,有

\lim_{x\to 0} P(x)f(x)\to 0

因为负指数的指数增长起支配作用。这意味着对于x<0设定f(x)=0将给出一个光滑函数。象f(x)f(1-x)这样的组合可以以任何给定区间为支撑构成;在这个特例中,该区间是[0,1]。这样的函数从0开始有特别慢的‘启动’。

参看一个不是解析的无穷可微函数

和解析函数理论的关系[编辑]

复分析的术语考虑,如下的函数

g(z)=\exp(-\frac{1}{z^2})

对于z取任何实数值是光滑的,但在z=0有一个本质奇点。也就是,在z = 0附近的行为不好;但恰巧只看实参数时无法让我们发现这一点。

光滑单位分解[编辑]

给定闭支撑的光滑函数用于构造光滑单位分解(参看拓扑学术语单位分解条目);这在光滑流形的研究中有基本的作用,例如在证明黎曼度量可以从他们的局部存在性全局的定义时。一个简单的情形是实直线上的一个突起函数,一个光滑函数f在区间[a,b]外为0,并且使得

f(x) > 0 for a < x < b.

给定一些直线上的互相重叠的区间,可以在每个区间上构造突起函数,在半无限区间(-\infty,c][d,+\infty)上也可以,以覆盖整条直线,使得函数的和总是1

根据前面所说,单位分解不适用于全纯函数;它们的对于存在性和解析连续的不同行为是论的根源之一。作为对比,光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。

流形的光滑映射[编辑]

光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数,定义在切向量上;它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。

高等定义[编辑]

在需要讨论所有无穷可微函数的集合时,以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时,人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择,因为它在这些操作下不是完备闭合的。对于这个情况的一个正确处理,我们可以采用索伯列夫空间(Sobolev space)的概念。

参看[编辑]

外部链接[编辑]