幂级数

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无穷级数
无穷级数
蓝色曲线是指数函数,红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的 前n+1 项和的曲线

数学中,幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数,变量可以是一个或多个(见“多元幂级数”一节)。单变量的幂级数形式为:

其中的c常数称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数,幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把 看成一项,那么幂级数可以化简为的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一,然而在组合数学中,幂级数也占有一席之地。作为母函数,由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电力工程学中,幂级数则被称为Z-变换实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种,只不过这里的x被固定为。在p-进数中则可以见到x被固定为的幂级数。

例子[编辑]

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数,例如多项式 可以写成标准形式的幂级数:

也可以写成():

实际上,多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说,幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对,有

是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开:

以及正弦函数(对所有实数x 成立):

这些幂级数都属于泰勒级数

幂级数里不包括负的幂次。例如 就不是幂级数(它是一个劳伦级数)。同样的,幂次为分数的级数也不是幂级数。系数必须是和x无关,比如就不是一个幂级数。

敛散性[编辑]

作为级数的一种,幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数,当变量x复数中变化时,幂级数可能收敛,也可能发散。作为判断的依据,有:

阿贝尔引理:给定一个幂级数,如果对实数,数列 有界,那么对任意复数绝对收敛。
证明

如果,那么由于数列 有界,存在正实数M使得对任意的n,总有 。所以:

正数比值严格小于1,因此上面的等比级数收敛,于是绝对收敛。

按照引理,使得幂级数收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的(不包括边界),称为收敛圆盘,其边界称为收敛圆。具体来说,就是:

  1. 要么对所有的非零复数,都发散;
  2. 要么存在一个正常数(包括正无穷),使得当时,绝对收敛,当时,发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数 被称为幂级数的收敛半径,当属于第一种情况时,规定收敛半径为零。

按照定义,对一个幂级数,当(在收敛圆盘内)时(如果有的话),幂级数必然收敛;而当时(如果有的话),幂级数必然发散。但是如果(在收敛圆上)的话,这时幂级数的敛散性是无从判断的,只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法收敛半径满足:如果幂级数满足,则:

是正实数时,
时,
时,

根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式

或者

幂级数的运算[编辑]

形式上,幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:

各种运算后,得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

一致收敛性[编辑]

对一个收敛半径为R的幂级数,可以证明,幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此,考虑幂级数函数

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

幂级数函数的求导和积分[编辑]

可以证明,幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导,并且可积。此外,由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛,可以进行逐项求导和积分,而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于的收敛半径R。具体形式为:

函数的幂级数展开[编辑]

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究,如能将要研究的函数以幂级数形式来表示,将有助于对其性质的研究。然而,不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点 c 附近可展(可以展开为幂级数),当且仅当存在正实数 R>0,使得在复平面中以 c 为圆心以 R 为半径的圆D(c,R) 内(不包括边界)有:

其中为确定的常数。

如果一个函数在某处可展,那么它在这点无穷可导),并且在这点附近的展开式是唯一的。

即是在这点的泰勒展开的第 n 项的值。这时展开得到的幂级数称为函数 fc 点的泰勒级数

函数的可展性[编辑]

对于一般的无穷可导函数 ,也可以写出幂级数,但即使这个幂级数收敛,其值也不一定等于 。例如函数

x>0时,
时,

可以证明 无穷可导,并且在0处的每阶导数都是零,因此相应的幂级数恒等于0,不等于

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零:

一个更常用到的充分条件是: 如果存在正实数r,使得 在区间 上无穷可导,并且存在正数M使得对任意的 n,任意的 都有

那么可以在c附近展开成幂级数:

常见函数的幂级数展开[编辑]

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式















  1. ,特别地,











  2. ,其中

幂级数与解析函数[编辑]

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数,并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理,解析函数的零点必然是孤立点复分析中,所有的全纯函数(即复可微函数)都是无穷可微函数,并是复解析函数,这在实分析中则不然。[來源請求]

形式幂级数[编辑]

抽象代数中,幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要,敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处,例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

多元幂级数[编辑]

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数:

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn) 是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中,则有

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 史济怀,组合恒等式,中国科学技术大学出版社,2001
  • 幂级数介绍
  • 幂级数展开
  • 幂级数与泰勒展开
  • Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
  • Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
  • John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering, 第5版, 2006