阿贝尔判别法

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无穷级数
无穷级数

阿贝尔判别法是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式,一个是用来判断实数项级数的收敛,另一个是用来判断复数项级数的收敛。

实数项级数的阿贝尔判别法[编辑]

给定两个实数数列,如果数列满足

  • 收敛
  • 单调的,

则级数

收敛。

复数项级数的阿贝尔判别法[编辑]

一个相关的审敛法,也称为阿贝尔判别法,通常用来判断幂级数收敛圆的边界上的收敛性。如果

而级数

在|z| < 1是收敛,而在|z| > 1时发散,系数{an}是正的实数,当n > m时单调递减并收敛于零,则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛,除了z = 1以外。当z = 1时,不能使用阿贝尔判别法,所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意,利用变量代换ζ = z/R,阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。[1]

证明[编辑]

假设z是单位圆上的一个点,z ≠ 1。则

所以,对于任何两个正整数p > q > m,我们有

其中SpSq是部分和:

但是,由于|z| = 1,而当n > m时,an是单调递减的正实数,我们又有

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛,因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值,而我们可以通过选择足够大的q,来使aq+1小于任何给定的ε > 0。

注解[编辑]

  1. ^ (Moretti, 1964, p. 91)

参考文献[编辑]

  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

外部链接[编辑]