邻域

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在平面上集合 V 是点 p 的邻域,如果围绕 p 小圆盘包含在 V 中。
矩形不是它的任何一角的邻域。

拓扑学和相关的数学领域中,邻域拓扑空间中的基本概念。直觉上说,一个点的邻域是包含这个点的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

这个概念密切关联于开集内部的概念。

定义[编辑]

拓扑空间X,A,B⊆X,称B是A的邻域,当且仅当以下条件之一成立:

  • 存在开集C,使得A⊆C⊆B。
  • A⊆Bo。(Bo是B的内部)
开邻域,闭邻域
若B是开集,则B称为A的开邻域;若B是闭集,则B称为A的闭邻域
邻域系统
设x∈X,则{x}所有邻域的集合U(x),称为x(或{x})的邻域系统

注意:某些作者要求邻域是开集,所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果 SX 的子集,S邻域是集合 V,它包含了包含 S 的开集 U。可得出集合 VS 的邻域,当且仅当它是在 S 中的所有点的邻域。

在度量空间中[编辑]

平面上的集合 SS 的一致邻域 V

度量空间 M = (X,d) 中,集合 V 是点 p邻域,如果存在以 p 为中心和半径为 r开球

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

它被包含在 V 中。

V 叫做集合 S一致邻域,如果存在正数 r 使得对于 S 的所有元素 p

B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

被包含在 V 中。

对于 r>0 集合 Sr-邻域 S_rX 中与 S 的距离小于 r 的所有点的集合(或等价的说 S_r 是以 S 中一个点为中心半径为 r 的所有开球的并集)。

可直接得出 r-邻域是一致邻域,并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个 r 值的 r-邻域。

例子[编辑]

给定实数集合 R 带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集 V

V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right)

V自然数集合 N 的邻域,但是不是这个集合的一致邻域。

基于邻域的拓扑[编辑]

上述定义在开集的概念早已定义的条件下是有用的。有一种可供替代的方式来定义拓扑,通过首先定义邻域系统,并接着定义开集为包含它们的每个点的邻域的集合那些集合。

X 上的邻域系统是滤子 N(x)(在集合 X 上)到每个 X 中的 x 的指派,使得

  1. x 是每个 N(x) 中的 U 的元素,
  2. 每个 N(x) 中的 U 包含某个 N(x) 中的 V 使得对于每个 V 中的 y 有着 UN(y) 中。

可以证明这两个定义是兼容的,就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑,反之从邻域系统出发亦然。

引用[编辑]

  • Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 
  • Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 
  • Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

参见[编辑]