自然数

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規矩數
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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

数学中,自然数指用于计数(如「桌子上有个苹果」)和定序(如「国内第大城市」)的数字。用于计数时称之为基数,用于定序时称之为序数

自然数的定义不一,可以指正整数 ,亦可以指非负整数 。前者多在数论中使用,后者多在集合论计算机科学中使用,也是 ISO 80000-2 标准中所采用的定义[1]

数学家一般以代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的,無上界無窮集合

历史与0的争议[编辑]

自然数由数数而起。古希臘人最早研究其抽象特性,当中毕达哥拉斯主义更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献,尤其以印度对0的接受,为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字,但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出,经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人一开始仍对零作为数字感到抗拒,认为零不是一个“自然”数。

19世纪末,集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义,把零(对应于空集)包括于自然数内更为方便。逻辑论者及计算机科学家,接受集合论者的定义。而其他一些数学家,主要是数论学家,则依从传统把零拒之于自然数之外。

在全球范围内,目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。

在中国大陆,2000年左右之前的中小学教材一般将0列入自然数之内,或称其属于“扩大的自然数列”[2]。在2000年左右之后的新版中小学教材中,普遍将0列入自然数。[3][4]

認為自然數不包含零的其中一個理由是自然數所指為自然界中存在的數,例如一棵大樹、兩條魚、十億個細胞等等,而鮮少有人說零個物品。

国际标准ISO 31-11:1992英语ISO 31-11《量和单位 第十一部分:物理科学和技术中使用的数学标志与符号》(已被ISO/IEC 80000-2英语ISO/IEC 80000取代)中,从集合论角度规定:符号 所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11規定:表示“非负整数集;自然数集”,

符号[编辑]

常用双线的大写 N 符号来表示自然数集合。

数学家们使用 N 来表示所有自然数的集合。较早的教科书也有使用 J 来表示这一集合的情况。[5]

为了消除是否包含 0 的歧义,有时也会通过下标(或者上标)「0」表示集合中包含 0,通过上标「*」「+」或者下标「1」「>0」表示集合中不包含 0:[6]

定义[编辑]

爲了给出自然数的严格定义,朱塞佩·皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理,被稱爲皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

  1. 1是自然数;
  2. 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继數,记作n+n+1n+1也是自然数;
  3. 1不是任何自然数的后继;
  4. 不同自然數有不同的后继数
  5. 如果一些自然数的集合S具有性质:
    • 1在S中;
    • nS中,则n+1也在S中。

那么S = N。(公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理)

若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。

基数理论中,集合论的一般做法是首先把0定義為空集,然後把一非零自然数看作是所有比該數小的自然数组成的集合,即

透過無窮公理,可以得到只包含全體自然數的自然數集N

另外,在此定义下,在集合 n 内就有 n 个元素;而若 n 小于 m,则 n 会是 '

性质[编辑]

自然数加法可经递归定义而成。因而得出交换幺半群,是由生出的自由幺半群,其中幺元。此幺半群服从消去律,可嵌入一内:最小的是整数群。

同理,自然数乘法 可经 得出。而亦是交换幺半群;符合分配律

我们说当且仅当有自然数使得是一个良序集,即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容,即若都是自然数且,则

给定两个自然数,其中,可找到唯一的两个自然数使得

称为“商数”而称为“余数”。 若,则稱可被整除,记为

相关概念有可除性辗转相除质数及其它数论概念。

推广[编辑]

自然数有两种推广:序数用作排列,而基数用于判定集合的大小。

对于有限序列或有限集合,序数及基数皆与自然数同。

参考來源[编辑]

  1. ^ Standard number sets and intervals. ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. : 6. 
  2. ^ 王好民,《谈谈中学数学中的“0”》。曲阜师院学报(自然科学版),1979年03期。
  3. ^ (沧州市第一中学)李元星,潘峰,《关于0是自然数的探讨》。教育实践与研究,2004年01期。
  4. ^ (江苏省连云港市墟沟实验小学)傅海洋,《“0是自然数”引发的教学问题》。现代中小学教育,2007年08期。
  5. ^ Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. 1976: 25. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  6. ^ 人民教育出版社 课程教材研究所。中国数学课程教材研究开发中心. 普通高中标准课程实验教科书 数学1 必修 A版. 人民教育出版社. 2004年5月. ISBN 9787107177057 (中文(简体)‎).