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超越數

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

數論中,超越數是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程,它即是超越數。最著名的超越數是e以及π

定義[编辑]

超越數是代數數的相反,也即是說若是一個超越數,那麼對於任何整數都符合:

(其中an≠0)

例子[编辑]

超越數的例子包括:

  • 刘维尔数
    它是第一個確認為超越數的數,是於1844年刘维尔發現的。
  • (参见:e)。
  • ,其中 是除0以外的代數數。
  • (参见:圓周率
    林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
  • (参见:e的π次方
  • (参见:2的√2次方)。
    更一般地,若以外的任何代數數無理代數數必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理
  • (参见:正弦
  • (参见:自然对数),其中為一不等于1的有理數
  • (参见:朗伯W函數),其中為一有理數
  • (參見伽傌函數)。

所有超越數構成的集是一個不可數集。這暗示超越數遠多於代數數。可是,現今發現的超越數極少,甚至连是不是超越数也不知道,因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明,給數學帶來了大的變革,解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題,即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現,這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數[编辑]

以下數仍待證明為超越數或代數數:

猜想:

簡要地證明 e 是超越數[编辑]

第一個對 自然對數底 e 是超越數的證明可以追溯到 1873 年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特(1862–1943)的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:

為尋找矛盾,假設 e 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 c0, c1, ..., cn 滿足下列等式:

現在對於一個正整數 k ,我們定義如下的多項式:

並在上述等式的兩端乘上

於是我們得到等式:

該等式可以寫成這種形式

其中

引理 1. 對於恰當選擇的的 k 是非零整數。

證明: P 的每一項都是整數乘以階乘的和,這可以從以下的關係式得出

對於任何正整數 j 成立(考慮Γ函数)。

它是非零的,因為對於每一個滿足 0< ana

中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和,在積分中用 x - a 替換 x 后, x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

其中 k+1 ≤ j ,而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后,我們得到模 (k+1) 得 0 的數。不過,我們可以寫成:

於是

通過選擇 k ,使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數,我們可以得出 模 (k+1) 為非零,從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k

證明: 注意到

使用 區間 [0,n] 的上限 G 和 H ,我們可以推出

從而

於是有

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的 k ,從而我們能得出矛盾。進而得以證明 e 的超越性。

馬勒的分類[编辑]

库尔特·马勒英语Kurt Mahler在1932年把超越數分為3類,分別叫做S數T數U數[3]。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

實數的無理性度量[编辑]

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 x ,可以使得一次多項式 |qx − p| 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 p , q 是滿足 |p| , |q| 以正整數 H 為界的整數。

m(x, 1, H) 為這些多項式所取的最小非零絕對值,並且令:

ω(x, 1) 常稱為實數 x無理性度量measure of irrationality)。對於有理數 ω(x, 1) = 0 ,而且對無理數其值至少為 1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。 Thue–Siegel–Roth定理英语Thue–Siegel–Roth theorem表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

複數的超越性度量[编辑]

接下來考慮多項式對於複數 x 的取值,這些多項式係數為整數,次數至多為 n ,而且英语Height of a polynomial至多為 H ,此處的 n, H 是正整數。

令 m(x,n,H) 為以 x 為變量的上述多項式所取的最小非零值,並且令:

假如對於盡可能小的正整數 n , ω(x,n) 為無窮大,則這種情況下複數 x 稱為 n 次的U數

現在我們可以定義

ω(x) 常稱為 x超越性度量measure of transcendence)。假如 ω(x,n) 有界,則 ω(x) 有限, x 稱為S數。如果 ω(x,n) 有限而無界,則 x 稱為T數x 為代數數當且僅當 ω(x) = 0 。

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克英语William J. LeVeque在1953年構造了任意次數的U數[4][5]。劉維爾數是不可數集,從而U數也是。它們的測度為 0 [6]

T數組成的集合測度亦為 0 [7]。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特英语Wolfgang M. Schmidt在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數[8]。馬勒證明了當 x 為任意非零代數數時 均為S數[9][10]:這點揭示了 e 是S數且給出了 π 的超越性證明。對於 π 我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數 x, y 稱為代數相關,當存在 2 個變量的整係數非零多項式 P 滿足 P(xy) = 0 。一個有力的定理指出,屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的[5][11]。這允許我們構造新形式的超越數,例如劉維爾數與 e 或 π 的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

Koksma 的等價分類[编辑]

Jurjen Koksma英语Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類[3][12]

考慮用次數 ≤ n 且高 ≤ H 的代數數逼近複數 x 。令 α 為該有限集中滿足 |x − α| 取最小正值得代數數。定義 ω*(x,H,n) 和 ω*(x,n) 如下:

若對於最小的正整數 n, ω*(x,n) 為無窮大,則稱 xn 次的U*數

若 ω*(x,n) 有界且不收斂到 0 ,則則稱 xS*數

一個數 x 被稱為 A*數 ,當 ω*(x,n) 收斂到 0 。

若所有的 ω*(x,n) 均為有限但無界,則稱 xT*數

Koksma和馬勒的分類是等價的,因為它們將超越數以同樣的方式分類[12]A*數就是代數數[8]

勒維克的構造[编辑]

可以證明 λ (劉維爾數)的 n 次方根是 n 次的U數[13]

此構造可以改進以建立 n 次U數的不可數個系列。令 Z 為上述 λ 的級數中 10 的冪次的集合。 Z 所有子集的集合是不可數的。在表示 λ 的級數中刪去任意一個 Z 的子集,將產生不可數個顯然的劉維爾數,它們每一個的 n 次方根都是次數為 n 的U數。

類型[编辑]

數列 {ω(xn)} 的上界稱為類型type)。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數,此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數,此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出,於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明[4]

参考文献[编辑]

  1. ^ MathWorldIrrational Number的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  2. ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319
  3. ^ 3.0 3.1 Bugeaud (2012) p.250
  4. ^ 4.0 4.1 Baker (1975) p. 86.
  5. ^ 5.0 5.1 LeVeque (2002) p.II:172
  6. ^ Burger and Tubbs, p. 170.
  7. ^ Burger and Tubbs, p. 172.
  8. ^ 8.0 8.1 Bugeaud (2012) p.251
  9. ^ LeVeque (2002) pp.II:174–186
  10. ^ Burger and Tubbs, p. 182.
  11. ^ Burger and Tubbs, p. 163.
  12. ^ 12.0 12.1 Baker (1975) p.87
  13. ^ Baker(1979), p. 90.

參見[编辑]