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虛數單位

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虛數單位複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

數學物理工程學裏,虛數單位標記為,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。虛數單位的發明使實數系統能夠延伸至复数系統。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[编辑]

虛數單位定義為二次方程式的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號。很重要的一點是,是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

然而往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為,但是-1不等於1。
但請注意:成立的條件有,不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設是一個未知數,然後依照的定義,替代任何的出現為-1。的更高整數冪數也可以替代為,或,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中表示被4除的余数

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方程有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒數。更加确切地,一旦固定了方程的一个解,那么(不等于)也是一个解,由于这个方程是的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是之间没有质量上的区别(-1和+1就不是这样的)。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的换成,而把换成,那么所有的事实和定理都依然是正确的。

正当的使用[编辑]

虚数单位有时记为。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如,公式仅对于非负的实数才成立。

假若這個關係在虚数仍成立,則會出現以下情況:

(不正确)
(不正确)
(不正确)

i的运算[编辑]

虛數單位的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到,例如平方根对数三角函数。以下运算除第一项外,均为与有关的多值函数,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

这是因为:
使用算术平方根符号表示:
其解法為先假設兩實數,使得,求解[1]
  • 一个数的次幂为:
一个数的次方根为:
利用歐拉公式
代入不同的值,可計算出無限多的解。当最小的解是0.20787957635076...[2]
  • 为底的对数为:

在程式語言[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?页面存档备份,存于互联网档案馆) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接[编辑]