虛數單位

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虛數單位 複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。

數學物理工程學裏,虛數單位標記為 ,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。虛數單位的發明使實數系統 能夠延伸至复数系統 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[编辑]

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中mod 4表示被4除的余数

i和−i[编辑]

方程有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒數。更加确切地,一旦固定了方程的一个解,那么−(不等于)也是一个解,由于这个方程是的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然−在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是和−之间没有质量上的区别(−1和+1就不是这样的)。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+换成−,而把−换成−(−) = +,那么所有的事实和定理都依然是正确的。

正当的使用[编辑]

虚数单位有时记为。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立:

   (不正确)
   (不正确)
   (不正确)

公式仅对于非负的实数才成立。

为了避免这种错误,尽量不要用平方根来表示虚数。例如,我们不应使用,而应使用

i的运算[编辑]

虛數單位 的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到 ,例如平方根对数三角函数

i平方根为:

[1]

其解法為先假設兩實數x及y,使得(x + iy)2 = i,求解x,y[2]

这是因为:

以下运算均为与有关的多值函数英语Multivalued-function,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

一个数的次方为:

一个数的次方根为:

利用歐拉公式

其中

最小的解(k = 0)是e−π/2或近似值0.207879576...[3]

代表整數集,代入不同的k值,可計算出無限多的解。

以i为底的对数为:

余弦是一个实数

正弦纯虚数

程式語言[编辑]

  • Matlab虛數單位的表示方法為ij,但ijfor迴圈可以有其他用途。
  • Maple,必須啟用虛數功能,並選擇用i還是j表示虛數單位

註解[编辑]

  1. ^ Maple中,
  2. ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
  3. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接[编辑]