虛數單位

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虛數單位 複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數

超复数
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

數學物理工程學裏,虛數單位標記為 ,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。虛數單位的發明使實數系統 能夠延伸至复数系統 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[编辑]

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中mod 4表示被4除的余数

i 和 −i[编辑]

方程有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒數。更加确切地,一旦固定了方程的一个解,那么−(不等于)也是一个解,由于这个方程是的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然−在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是和−之间没有质量上的区别(−1和+1就不是这样的)。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+换成−,而把−换成,那么所有的事实和定理都依然是正确的。

正当的使用[编辑]

虚数单位有时记为。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立:

   (不正确)
   (不正确)
   (不正确)

公式仅对于非负的实数才成立。

为了避免这种错误,尽量不要用平方根来表示虚数。例如,我们不应使用,而应使用

i的运算[编辑]

虛數單位 的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到 ,例如平方根对数三角函数

i平方根为:

[1]

其解法為先假設兩實數x及y,使得(x + iy)2 = i,求解x,y[2]

这是因为:

以下运算均为与有关的多值函数,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

一个数的次方为:

一个数的次方根为:

利用歐拉公式

其中

最小的解(k = 0)是e−π/2或近似值0.207879576...[3]

代表整數集,代入不同的k值,可計算出無限多的解。

以i为底的对数为:

余弦是一个实数

正弦纯虚数

程式語言[编辑]

  • Matlab虛數單位的表示方法為ij,但ijfor迴圈可以有其他用途。
  • Maple,必須啟用虛數功能,並選擇用i還是j表示虛數單位

註解[编辑]

  1. ^ MapleMathematica中,
  2. ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
  3. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接[编辑]