负数

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负数,在数学上指小于0实数,如−2、−3.2、−807.5等,与正数相对。和实数一样,负數也是一個不可數無限集合。這個集合数学上通常用粗體R\mathbb{R}^-来表示。负数与0统称非正数。

负数的历史[编辑]

负整数可以被认为是自然数的扩展,使得等式 xy = z 对任意 xy 都有意义。相对而言,其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如,在会计学上,它可以被用来表示負債,而且通常以紅色表示(若不帶負數符號則加上括號),所以又稱「赤字」。

自从公元前4世纪,中国数学家就已经了解負數和零的概念了。[1] 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。”(這段話的大意是“减法:遇到同符号数字应相减其数值,遇到异符号数字应相加其数值,零减正数的差是負數,零减負數的差是正数。”)以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。(全文见维基文库的《九章算術》)

西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献,Brahmagupta写于628年的 BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上,欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

符号函数[编辑]

在实数上可以定义这样一个函数 sgn(x),它对正数取值为 1,负数取值为 −1,0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数

\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

x 不为 0 时,则有:

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.

这里,|x| 为 x绝对值H(x) 为单位阶跃函数。请参见导数

负数的四則運算[编辑]

負數四則運算口訣
口訣 釋義
加法 減法 乘法 除法
被乘數 乘數 被除數 除數
a + (+b) = a + b
a + (b) = a b
a (+b) = a b
a (b) = a + b
負數四則運算口訣簡單版
兩個符號一樣 兩個符號不同
得正 得負

加法[编辑]

上一个负数相当于去其相反數

 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 \,
 -2 + (-5) = -2 - 5 = -7 \,

减法[编辑]

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数:

 4 - 6 = -2 \,
 0 - 5 = -5 \,

任意负数减去一个正数总得到一个负数:

 -6 - 3 = - (6 + 3) = -9 \,

减去一个负数相当于加上相应的正数:

 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \,
 (-8) - (-3) = -(8 - 3) = -5 \,

乘法[编辑]

一个负数和一个正数相得到一个负数:(−2) × 3 = −6。这里,乘法可以被看作是多次加法的重复:(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6。

两个负数相乘得到一个正数:(−3) × (−4) = 12。这里,乘法不能再被看作是多次加法的重复了,而是为了使乘法满足分配律

 \bigg[3 + (-3)\bigg] \times (-4) = 3 \times (-4) + (-3) \times (-4). \,

等式的左边为 0 × (−4) = 0。等式的右边为 −12 + (−3) × (−4)。为了使两边相等,必须要 (−3) × (−4) = 12。

除法[编辑]

除法和乘法类似。若被除数除数有不同的符号,结果是一个负数:

 \; 8 \;\div\; (-2) = (-4) \,
 (-10) \;\div\; 2 = (-5) \,

若被除数和除数有相同的符号(就算他们均为负),结果是一个正数:

 (-12) \;\div\; (-3) = 4 \,

参见[编辑]

參考資料及註釋[编辑]

  1. ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3