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二元数

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線性代數中,二元數英语Dual number)是實數的推廣。二元數中有一個「二元數單位」ε,它的平方ε2 = 0(亦即ε是冪零元)。二元數的集合能在實數之上組成一個二維、符合交換律結合代數。每一個二元數z都有z=a+bε的特性,其中ab是實數。

矩陣表示法[编辑]

使用矩陣,二元數可表示為:

\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}\quad\quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

二元數的和與積可以尋常的矩陣加法、矩陣乘法計算。在二元數的代數中,兩種數學運算都符合交換律結合律

二元數的矩陣表示與複數的矩陣表示類似。然而這並非唯一的表示法,參見2×2實矩陣英语2 × 2 real matrices。如同複平面雙曲複數平面,二元數也是平面代數的實現方式之一。

幾何[编辑]

定義z* = abε,二元數的「單位圓」包括了那些a值為1或−1的二元數,因為z z* = 1。然而注意到

 \exp(b \varepsilon) = \left(\sum^\infty_{n=0} (b\varepsilon)^n / n!\right) = 1 + b \varepsilon \!,

所以ε軸的指數映射僅涵蓋半「圓」。

a ≠ 0且m = b /a,則z = a(1 + m ε)為二元數z極分解斜率m則與輻角相關。二元數平面中的「旋轉」等價於一個垂直錯切,原因是(1 + p ε)(1 + q ε) = 1 + (p+q) ε。

伽利略變換[编辑]

絕對時空中,伽利略變換

(t',x') = (t,x)\begin{pmatrix}1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix},亦即
\ \ t'=t,\ \  x' = vt + x  \!

將靜止參考系與帶有速度v移動參考系做聯結。使用二元數,t + x ε表示一維空間與時間中的事件,伽利略變換就可以採乘上(1 + v ε)來達成。

循環[编辑]

給定兩個二元數pq,它們決定了一組z的集合,使得zpq的直線的斜率差(伽利略角)是常數。這個集合是二元數平面上的「循環」。設定直線斜率差為常數的方程式是z實部的二次方程式,則一個循環實則是拋物線。二元數平面的「循環旋轉」實際上是二元數投影線的運動。

根據Yaglom (pp. 92,3),循環Z = {z : y = α x2}在錯切的組合中保持不變:

x_1 = x ,\ \  y_1 = vx + y \ \

平移項:

x' = x_1 = v/2a  ,\ \  y' = y_1 + v^2/4a \

這個組合是一個循環旋轉(cyclic rotation),V. V. Kisil做了更進一步的推演。[1]

在代數中的特性[编辑]

一般化[编辑]

微分[编辑]

超空間[编辑]

除法[编辑]

對於由兩個二元數所組成的分數來說,當分母的實數部分非零的時候,我們可以計算出那個分數的值。二元數的除法和複數的除法相似:兩者皆把分子和分母乘以分母的共軛以約去分子和分母的非實數部分。

所以,如果要計算這個二元數分數的值:

{a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}

我們需要把分子和分母乘以分母的共軛

= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-0 \over c^2-0}
= {ac + \varepsilon(bc - ad) \over c^2}
= {a \over c} + {(bc - ad) \over c^2}\varepsilon

而二元數除數在c為非零時才有值。

但是,如果c為零而d不為零時,這條方程式:

{a+b\varepsilon = (x+y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}
  1. 當a非零時沒有解
  2. 當a為零時,以下的二元數都是它的解:
{b \over d} + {y\varepsilon}.

[编辑]

以下是二元數的冪的計算方法:

(a+b\varepsilon)^{c+d\varepsilon}=a^c+\varepsilon(b (c a^{c-1})+d (a^c \ln a))

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ V.V. Kisil (2007) "Inventing a Wheel, the Parabolic One" arXiv:0707.4024