幂零元

此条目的主題是环论中的幂零元。关于群论中的幂零群，請見「冪零群」。

在抽象代数中，對环 $R$ 的一个元素 $x$ ，若存在一個正整數 $n$ 使得 $x^{n}$ 等於環 $R$的加法單位元時，稱 $x$ 是一个幂零元（英語：nilpotent element）。

例子

• 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

$A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}$

是一个幂零元，因为 $A^{3}=0$。

• 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为3²是同余类0。
• 對不滿足交換律的环 $R$中，如果元素 $a$ 和 $b$ 满足 $ab=0$ ，那么元素 $c=ba$（如果非零的话）是一个幂零元，因为 $c^{2}=(ba)(ba)=b(ab)a=0$ 。在矩阵環中的一个例子是：

$A_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\$

其中 $A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0$

性质

在非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的诣零根。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果 $x$ 是幂零元，那么 $1-x$ 是一个可逆元，因为由 $x^{n}=0$ 可得

$(1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}=1-x^{n}=1$ 。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于$t^{n}$。

参见

• 环