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商环

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環論中,商環(或稱剩餘類環)是環對一個理想的商結構。

定義[编辑]

為一為一雙邊理想。定義下述等價關係

為其等價類的集合,其中的元素記作,其中是該元素在上任一代表元。我們可以在上定義環結構:

以上運算是明確定義的(在第二式中須用到是雙邊理想)。集合配合上述運算稱作商環。根據定義,商映射是滿的環同態,為此同態的核。

如果含單位元,則的單位元。

:若條件弱化為是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合左(或右)-結構。

例子[编辑]

  • 最平凡的例子是,此時分別得到
  • ,商環可視為模運算的代數框架,其中的元素即模的剩餘類。
  • 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環,則商環與複數域同構(考慮映射)。一般而言,設為一個上的不可約多項式,則商環的意義在於抽象地在上加進的一個根。

性質[编辑]

商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):

為商同態;對任何環同態,若 ,則存在唯一的同態,使得

事實上,若更設,則是單射。準此,的同態像無非是的商環。

理想的性質常與其商環相關,例如當是交換含幺環時,素理想(或極大理想)若且唯若整環(或);中包含的理想一一對應於中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。

文獻[编辑]