唯一分解整環

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數學中,唯一分解整环Unique factorization domain)是使得每個其中元素都能唯一表成素元之積的整環,也就是滿足算術基本定理的整環。唯一分解整环通常以英文縮寫 UFD 表示。

定義[编辑]

一個唯一分解整环乃是一整環 R,使得其中每個非零不可逆元 x 皆可表為不可約元(或稱既約元)的積:

x = p_1 \cdots p_n

此表法在至多差一個可逆元的意義下唯一:若 x = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m,其中 p_i, q_j 皆為不可約元,則 m=n,而且在重排下標後存在可逆元 u_i \in R^\times 使得 p_i = u_i q_i

另一個方便的等價定義如下:一個唯一分解整环乃是一整環 R,使得其中每個非零不可逆元皆可表成素元的積。

例子[编辑]

以下給出幾個反例:

  • \Z[\sqrt{-5}] 並非唯一分解環,因為
(6)=(2)(3)=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})
  • R 為任一交換環,則 R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW) 非唯一分解整环;當 R 為域時,這在幾何上對應到一個奇點。

性質[编辑]

整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环:

  • 在任意整環中,素元必為不可約元;在唯一分解整环中,不可約元必為素元。
  • 任意有限個元素有最大公因數最小公倍數,它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

等價條件[编辑]

  • 一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想(即:由單個元素生成)。
  • 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立,而且任兩個元素有最小公倍數
  • 一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。

文獻[编辑]