本页使用了标题或全文手工转换

唯一分解整環

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,唯一分解整环Unique factorization domain)是一個整環,其中元素都可以表示成有限個不可約元素(或素元)之積,並且表示法在允許重排與相伴(associative)之下唯一,相當於滿足算術基本定理的整環。唯一分解整环通常以英文縮寫UFD表示。

定義[编辑]

一個整環被稱為唯一分解整环若且唯若中的每個非零元素皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素(可以是0個)的乘積:

其中是一個可逆元素不可約元素是非負整數。並且如果存在的另一種表示法此表法 (可逆元素不可約元素),則,且存在一個下標的重排可逆元素使得 (),換句話說,存在使得相伴。

例子[编辑]

以下給出幾個反例:

  • 並非唯一分解環,因為
  • 為任一交換環,則非唯一分解整环;當為域時,這在幾何上對應到一個奇點。

性質[编辑]

整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环:

  • 在任意整環中,素元必為不可約元;在唯一分解整环中,不可約元必為素元。
  • 任意有限個元素有最大公因數最小公倍數,它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

等價條件[编辑]

  • 一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想(即:由單個元素生成)。
  • 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立,而且任兩個元素有最小公倍數
  • 一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。

文獻[编辑]