在抽象代數中,群環是從一個群
及交換環
構造出的環,通常記為
或
。其定義為:
(換言之,這是由基底
張出的自由
-模)
其上的
-線性乘法運算由
給出。
對
-模的加法與上述乘法形成一個
-代數。乘法單位元素為
。
最常用的是
或
的群環。對於後者,
成為
的表示:
;若
為有限群,則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。
對於無窮階的群
,迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群,通常採用
或
對摺積構成的代數,較有利於研究群的拓撲性質及其表示。
令
,即階為
的循環群,其中
為群的一個生成元,
為其單位元。群環
中的元素
可以表示成

其中
,
以及
皆為
中的元素,即複數。
對群環中其他的元素
,我們可以定義群環的加法

以及乘法

- A. A. Bovdi, Group algebra, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
- D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)